射影几何与解析几何

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3、几何的局限，产生了一门崭新的学科——射影几何．由于新学科把无穷远点及图形连续变动的思想引入数学，它实际上已迈入高等数学的门槛．射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的．在中世纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世界逐渐成为绘画的目标了．为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上．意大利的建筑师兼数学家阿尔贝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)认真考虑了这一问题．他在1435年写成的《论绘画》(Dellapittura，1511年出版)一书中阐述了这样

4、的思想：在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线．他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是在玻璃板(实际是画布)上作出一个真正的截景．例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、(图10．1)时，从O到矩形各点的连线形成一投影棱锥，其中OA，OB，OC，OD是四根典型的投影线．若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′为矩形ABCD的截景．由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一

5、样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题．阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的；如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之间必存在某种关系．于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．二、德扎格的工作射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格(G．Desargue

6、s，1591—1661)．1639年，他发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》(Brouillonprojetduneatteinteauxévénementsdesrencontresduconeavecunplan)．这部书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展，被公认为这一学科的经典．但它在发表之初，却没有受到数学家们的重视．德扎格把书印了50份，分送给他的朋友，不久便全部散失了．直到1845年，沙勒(M．Chasles，1793—1880)才偶然发现了一个手抄本，由波德(N．G．Poudra)加以复制，使德扎格的射影几何成果复明于世，1950年左右，

7、这部书的一个原版本终于在巴黎被发现，并复制发行．为什么德扎格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因．一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，德扎格是可以和笛卡儿媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样的有力工具．第二个原因是，德扎格的写作形式比较古怪，他引进了70个新术语，其中多是从植物学借用的．例如，他用棕(Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句及不易理解的思想，使他的书难于阅读．除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人

8、欣赏他的著作．德扎格数学思想的出色之处，首先在于他引