交比(射影几何)

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1、交比一、点列中四点的交比1.定义交比—最根本的射影不变量定义.设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1P2,其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a+2b,则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比,其定义为(1)称P1,P2为基点偶,P3,P4为分点偶.定理1.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4)，则有(2)证明.以P1,P2,为基点,参数表示P3,P4.设a+1b=a',a+2b=b'.从中解出a,b,得于是,P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即由交比的定义,有注定理可以作为交

2、比的一般定义.交比2.性质(1)交比组合性质定理2设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时,交比值变化规律如下：推论由定理2,相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！交比(2)交比的初等几何意义如果限于通常平面,则(2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离,即(4)注：如果P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为前三个通常点的简单比.交比3.特殊情况定理3共线四点的交比值出现0,1,三者之一这四点中有某二点相

3、同.证明根据定理1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,.4.调和比定义若(P1P2,P3P4)=–1,则称推论1若(P1P2,P3P4)=–1,则此四点互异.推论2相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：点组P1,P2,P3,P4为调和点组点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭点P4为P1,P2,P3的第四调和点交比调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,利用初等几

4、何意义,有此时,若P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则这表示P3为P1P2的中点.推论3设P1,P2,P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点交比例1设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=1.由题设已知四点相异交比此步不可省！若不共线则交比无定义！5.交比的计算(1)由坐标求交比例2已知P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1).求(P1P2,Q1Q2).解第一步.验证四点共线.第二步.以P1,P2为基点,参数

5、表示Q1,Q2.令i=1,2.对于i=1,有对于i=2,同理求得.于是，交比例3已知P1,P2分别是x轴、y轴上的无穷远点，P3是斜率为1的方向上的无穷远点，且(P1P2,P3P4)=r，求P4的坐标。解：由题设知P1,P2,P3的坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)。设则显然由可得从而P4的坐标为(r,1,0).注若要求P1,或P2的坐标,则需先据交比性质交换点的位置,使得交换后第1,2位置为已知点,再计算.交比(2)由交比求坐标定理4设Pil(P)(i=1,2,3,4)，并已知还已知其中三点的坐标，则第四点的坐标可

6、唯一确定。推论4设为点列l(P)中取定的相异三点,Pl(P).则为点列l(P)与之间的一个双射.其中交比二、线束中四直线的交比1.线束的参数表示设a,b为线束S(p)中取定的相异二直线.则对于任意的pS(p),其坐标可表示为称a,b为基线,为参数.注1这里a,b,p均表示直线的齐次坐标。容易看出=0↔a;=1↔a+b;=↔b注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数结构，因此可由点列的交比对偶地得到线束的交比.交比定义3设p1,p2,p3,p4为线束S(p)中四直线，且p1p2，其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a

7、+2b，则记(p1p2,p3p4)表示这四直线构成的一个交比，定义为(5)称p1,p2为基线偶，p3,p4为分线偶。定理5设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4).则(6)2.定义注上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构.因此有相同的组合性质,并可类似定义调和直线组.交比3.交比为射影不变量定理6设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4)，则证明设直线p1,p2,p3,p4的齐次坐标分别为a,b,a+1b,a+2b,直线s的齐次坐标为c.可以求出点Pi的坐标分别为而于是交比注

8、定理6也可看做：设Pi为点列l(P)中四点,Pi与不在l上的定点S连线依次为pi(i=1,2,3,4)，则由定理6,得下述重要结论定理7交比为射影不变量.注由定理7,关于点的交比