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1、第三章一维射影几何学§3.1点列与线束维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几何学和线几何学都是二维的。点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那条定直线称为点列的底，设，为定直线上二点，为点列的动点，则：定义1定义2线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。那个定点称为线束的心。ABCx=ua+vb设为过定点的直线为线束的动直线,则由代数知识,必有数使得所以,点列上任意一点M的坐标可表为:的形式,当时,可表为的形式.为点列的基点§3.2点列的交比定义：设A、B、C、D为共线
2、的四点，把定义为这四点(有向线段，而非距离）交比可由简比求得定理1：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：则按顺序点列的交比，用符号来记定理2：设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+推论：设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是则点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有4!=24种排列，故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不同的组别，每组的值是相同的。定理3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交比值不变。定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转
3、变为其倒数定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差则由定理3~定理5可知：24个交比一般取六个不同的数值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）讨论三种特殊情况：令令若（1）当六组交比值分别为；1，1，0，当六组交比值分别为：（2）当六组交比值分别为-1，-1，2，六组交比值分别为六组交比值分别为（3）第一种情况时则若非点A与B重合，四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于第二种情况说明C点分割线段AB的值与D点分割线段AB的值只差一个符号，一个是内分点，一个是内外分点定义3：当时，则称
4、C，D两点调和分割A，B两点或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶成调和共轭例1：三角形的内角平分线与外角平分线定理6：设0为CD的中点，则例1：已知点A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比（AB，CD）=－４解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合ABCDE∴作业：1，4，5，6§3.3线束的交比设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐标依次表示为（a,b既代表直线，又代
5、表它们的坐标向量）设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：把一线束中四直线被任一直线（不通过线束中心或顶点O）所截四点的交比，称为四直线的交比，记为（ab,cd)ABCDOab定理1：四直线的交比为定理2：四直线的交比，即线束中四直线的交比等于其相应参数之交比。当时，四直线为一调和线束，a和b称为对于c,d成一对调和共轭直线，c和d对于a,b也是一对调和共轭直线。例：一个角的两边被它的内角和外角平分线调和分割。四直线交比在初等几何的意义：取直线中心O为正交笛氏坐标原点，取一条不
6、与四直线a,b,c,d任一条平行的直线作为y轴，将四直线的方程写为（i=1,2,3,4),其中取为斜，由于截线可任意选取，取直线作为截线。交a,b,c,d于A，B，C，D，交x轴于M，这四点的纵坐标为：若以分别表示四直线的倾角，则：OabcdABCDMxy1其中表示把直线a到c的有向转角。例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.例2：已知四直线a,b,c,d的方程为求证：这四直线共点，并求（ab,cd)abcd证明：且这四直线共点
7、，这四直线的齐次方程为：作业：10，12§3.4一维射影坐标定义1：若两个一维基本形，的对应参数之间满足双一次关系式：或把表为u的射影函数形式：称成射影对应，记为由定义1知，一维射影对应具有反身性,对称性和传递性。可以是：点列与点列，线束与线束，点列与线束。若是u的射影函数，则u为的射影函数。为u的射影函数，的射影函数，则的射影函数。定理1：两个一维基本形成射影对应的充要条件是对应四元素的交比相等。证明：设两个一维基本形为其中对应，设由定义1可：反之：设前三对对应元素是固定的，第四对对应元素为变动的
8、且交比相等，亦即：令：代入上式，整理得：且设互不相等，也不相等。由定义1可知：它们成射影对应。定理2（冯斯套特定理）如果已知两个一维图形中任意给定三对（各不相重）对应元素，那么就可以决定唯一的射影对应。证明：设两个一维基本形的三对各不相同的对应元素的参数为为任一对对应元素的参数。由定理1知可确定一个射影对应T。设还存在另一个射影对应，使所以如果已知三对各不相同的对应元素，则可以唯一地确定一个射影对应。例1：设两个一维基本形都是点列，并且所用的参数就是最常用的笛卡尔坐标
