2.1 射影直线和射影平面

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1、第二章射影平面本章地位学习平面射影几何的基础本章内容在欧氏几何的基础上，本章添加无穷远元素的方法来定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则附带一个重要定理Desargues透视定理学习要求认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰中心投影无穷远元素齐次坐标对偶原则Desargues定理齐次点坐标复元素齐次线坐标主要内容：附带内容：第一节射影直线和射影平面§2.1.1中心射影§2.1.2无穷远元素§2.1.3一维、二维射影空间§2.1.4图形的射影性质§2.1.1中心投影定义2.1OP投射线P'l上的点P在l'上的像Pl'上的点P'在l上的像一、平面上两直线间的中心射影OV

2、'与l不相交，V'为l'上的影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射(一一对应)。X=l×l'自对应点(不变点)OU与l'不相交，U为l上的影消点三个特殊的点：因此，φ–1:l'→l是l'到l的中心射影OP投射线二、平面到平面的中心射影定义2.2P'π上的点P在π'上的像Pπ'上的点P'在π上的像因此，是π‘到π的中心射影三条特殊的直线：自对应直线(不变直线)u为由影消点构成的影消线v'为由影消点构成的影消线注：影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射（一一对应)。中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点，

3、平行的平面没有交线。如何使得中心射影成为一个双射(一一对应)？给平行线添加交点！例：求一个中心射影将任意一个三角形射影成等腰三角形。解：目标：改造空间，使得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定唯一一个点(交点)两个相异点确定唯一一条直线(连线)点与直线的关联关系§2.1.2无穷远元素一、无穷远点为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(普通点)，(2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,约定一：(1)平面内在每一条直线上添加唯一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为无穷远点(理想点)，记作P∞不平行的直线上添加的无穷远点不同.注

4、：1）无穷远点实际上是二维空间中平行直线的交点。记作P2）由于平面内有无数多组平行线，因此一个平面内有无数多个无穷远点。例：一条直线和它的平行平面相交于一个无穷远点。证明：如图，二、无穷远直线区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l约定二：按约定一的(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线注：即空间中任意一组平行平面交于一条无穷远直线。推导：理解约定一1、对于平面上每一方向，有唯一无穷远点.平行的直线交2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.3、平面上添加

5、的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数.4、不平行的直线上的无穷远点不同.于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.总结：线的关联关系，同时使得中心射影成为双射（一一对应）.在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直两直线平行不平行交于唯一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线交于唯一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于唯一无穷远点.因而，对于通常直线：理解约定二1、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直

6、线；无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.线上的无穷远点.过同一条无穷远直线的平面相互平行。两平面平行不平行交于唯一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线因而，对于通常平面：定义2.3添加无穷远直线后的平面称为仿射平面;在仿射直线上不区分有穷远点和无穷远点，则这条直线称添加无穷远点后的欧氏直线统称为仿射直线；一、射影直线和射影平面的定义若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面称为射影平面（拓广平面）§2.1.3射影直线和射影平面为射影直线(拓广直线）.(1)拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同二、射影直线、射影平面的基本性质及模型欧

7、氏直线：向两个方向无限伸展1、射影直线(拓广直线)定理2.1(1)两个相异的拓广点确定唯一一条拓广直线；在拓广平面上,点与直线的关联关系成立：(2)两条相异的拓广直线确定唯一一个拓广点.一个无穷远点(2)射影直线在欧氏平面的模型为圆注：通常点和无穷远点统称为拓广点；添加无穷远点之后的直线和无穷远直线统称为拓广直线。(3)拓广直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。拓广直线：不同的两点把直线分成两条线段，其中一条含无穷远点，另一条不