有限域上三类不可约有限反射群的不变式

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1、大连理工大学硕士研究生学位论文独创性说明作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文申特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。作者签名：大连理工大学硕士研究生学位论文大连理工大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”

2、，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。⋯名：霹!垒至导师签名!蠡兰遮竺丑年』月堕日大连理工大学硕士学位论文引言有限反射群是群论研究的重要对象，人们对它的研究已有一百多年的历史．早在19世纪末、20世纪初，一些数学家就在他们的研究工作中涉及到了有限反射群．第—个让有限反射群的研究充满活力的数学家是H．S．M．Cox

3、eter．1934年，在论文【1】中，Coxeter利用几何的方法对有限反射群进行了完全的分类，并且还推导出了一些其他的性质．后来，在他的著作<<正规多面体>>121中又包含了关于有限反射群方面的一些研究成果．1941年，E．Witt在文章【3】中用更加代数化的方法讨论了有限反射群．Coxeter主要是对实数域上有限反射群进行了分类，但人们对有限反射群的研究并不限于实数域的情况．1954年，G．C．Shephard和J．A．Todd完成了复数域上有限反射群的分类工作．在他们的论文f41中，分别研究

4、了本原反射群与非本原反射群．在他们的工作中，群的不变式理论起到了特别重要的作用．2004年，B．Momon和E．Schute在【5】中对有限域(特征数≠2)上的有限反射群进行了分类．至此，有限反射群的分类工作已经取得了重要的进展．虽然如此，有限反射群的研究工作还远远没有结束．随着人们对有限反射群研究的深入，以及其他数学学科发展的需要，人们越来越认识到有限反射群的重要性．现在。有限反射群在代数学的其他分支中，在几何学中，在组合学中，以及很多其他的数学学科的研究中都起到了很重要的作用．人们对有限反射群

5、的研究兴趣也越来越浓厚．而有限反射群本身也自成—个研究体系，它涉及到生成元与关系。表现，根系，根图，不变式，自同构等众多的内容．本文关心的正是有限反射群研究的一个重要内容一有限反射群的不变式．不变式理论本身也自成—个体系，而且，近年来越来越多的数学家在关注这方面的研究成果和进展．同时，新的成果不断涌现出来．目前这方面的论著也相继得到出版．有限反射群的不变式研究已经取得了很多成果，实数域和复数域上的不可约有限反射群的不变式都已经被彻底地计算出来了．特别是复数域上的不可约反射群，它们在群的分类工作中起

6、到了很重要的作用．因此，研究有限域上有限反射群的不变式也是—件很有意义的工作．本文主要研究了三类有限域上不可约有限反射群麟印十m+1))，职∽≥2)，D￡∞24)的不变式，试图给出它们的本原不变式，从而便可以求出它们全部的不变式．大连理工大学硬士学位论文1相关的基础知识1．1约定1)如不特别声明本文总假设基域K是特征数p≠2的有限域或者无限域，关于向量空间或域的其他假设在需要时再明确给出．2)本文中用，或者f(wl，z2，⋯，‰)表示托维向量空间上的多项式函数，而用f(h，t2⋯．，k)或者，(蜀

7、，托⋯．，K)表示关于n个未定元tl，t2，⋯，“或未定元x1，局，．．．，％的多项式．1．2向量空间上的多项式函数设K是域，n是正整数，而y是K上n维向量空间．设，是定义在y上而在K上取值的函数，即f：V_KA—·，(A)．所有这种函数的全体记作K”．设，，g∈Ky，而a∈K，定义(，+g)(A)=，(A)+夕(A)，(fg)(A)=，(A)9(A)，和(n，)(A)=o，(A)．则Ky对于上面规定的加法、乘法和纯量乘法来说组成—个K一代数．定义1．2．1K一代数K7叫做y上的函数代数．3有限域

8、上三类不可约有限反射群的的不变式定义1．2．2设，∈Kv，如果对VA，p∈KVa，b∈K，都有，(nA+bp)=af(A)+bf(p)，，就叫做定义在y上的线性函数．y上全体线性函数对于加法和纯量乘法组成K上的一个向量空间。叫做y的对偶空间，记作p．命题1．2．3设91，e2，⋯，矗是y的一组基，按以下方式定义矿上的线性函数z1，勋⋯．，％：Xi($j)=奶(1≤l，J≤扎)，那么zl'劫，⋯，％是矿的一组基．因此，矿也是K上的n维向量空间．证明设alxl+a2x2+．．．+anx