有限域上本原多项式与不可约多项式判定.doc

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1、摘要摘要本文前面部分介绍了有限域理论的基础知识。然后根据有限域的相关知识，对王鑫和王新梅在[1]中提出的判定不可约多项式及本原多项式的一种高效算法进行了论证。该算法提出了三个条件作为判定有限域上多项式的不可约性的充要条件，并在有限域上多项式不可约的前提下，附加了一个条件作为判定有限域上多项式为本原多项式的充要条件。文章的后面部分，使用MicrosoftVisualStudio2008软件，用c++语言编程实现了有限域上的模运算、乘法运算、快速指数算法、欧几里得算法、整数分解算法等核心模块，并最终实现

2、了王鑫和王新梅在[1]中提出的判定方法，实现了对有限域上的多项式是否为不可约多项式及本原多项式的判定。关键词：有限域不可约多项式本原多项式ABSTRACTABSTRACTWeintroducethebasicknowledgeoffinitefieldstheoryinthefrontofthispaper.Accordingtotheknowledgeoffinitefields,wediscussanefficientalgorithm,whichisusedtodeterminewhether

3、apolynomialoverfinitefieldsisirreducible(primitive)ornot,proposedbyWangXinandWangXinMeiin[1].Threeconditionsareproposedbyitasanecessaryandsufficientconditiontodetermineirreduciblepolynomialsoverthefinitefield.Andunderthepreconditionthatthepolynomialisi

4、rreducibleoverfinitefields,thealgorithmproposesaconditionasthenecessaryandsufficientconditiontodeterminewhetherapolynomialisprimitiveornotoverfinitefields.Inthelatterpart,byusingMicrosoftVisualStudio2008software,wemakethemodeoperations,multiplicationop

5、erations,fastexponentialalgorithm,Euclidalgorithm,integerfactorizationalgorithmmodulescometrueinc++language.AndfinallyachievedthedecisionmethodproposedbyWangXinandWangXinMeiin[1],realizedthedeterminationthatwhetherthepolynomialoverfinitefieldsisirreduc

6、ible(primitive)ornot.Keywords：finitefieldirreduciblepolynomialsprimitivepolynomials目录i目录第一章绪论11.1研究背景和研究意义11.2相关领域的研究进展21.3本文主要的研究成果和内容安排3第二章有限域的基础知识52.1群、环、域52.2多项式环62.3域的有限扩张102.4有限域的性质122.5有限域上的多项式132.6本章小结14第三章有限域上不可约多项式和本原多项式的判定方法153.1引言153.2有限域上多

7、项式不可约性的判定153.3有限域上多项式本原性的判定203.4本章小结21第四章程序实现234.1程序总流程234.2数据结构244.2.1有限域上多项式的表示244.2.2多项式读入模块244.2.3运算符254.3基础算法254.3.1快速指数算法254.3.2整数分解算法264.3.3欧几里得算法274.4不可约性判定274.5本原性判定28第五章程序测试29第六章总结与展望31致谢33参考文献35附录37第一章绪论3第一章绪论1.1研究背景和研究意义有限域理论作为现代代数的重要分支，在密码

8、学，编码理论，组合理论，大规模集成电路设计等诸多领域都发挥着重要作用，它的应用极大地推动了这些学科的发展，其中，许多相关领域的研究热点都可以归结为有限域理论中的关键问题，这使得有限域理论日益得到重视、充实和推动。作为有限域理论研究的重要分支，有限域上的不可约多项式与本原多项式在密码、编码理论及随机数的产生等方面有着尤其广泛的应用。例如伪随机序列在扩频通信与序列密码中被广泛应用，它可以在连续波雷达中被用作测距信号、在遥控系统中被用作遥控信号、在多址通信中被用作地址信号，