多元线性回归模型的估计

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1、§3.23.2多元线性回归模型的估计估计方法：OLS、ML或者MM一、普通最小二乘估计*二、最大或然估计*三、矩估计四、参数估计量的性质五、样本容量问题六、估计实例一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值(Yi,Xji),i=1,2,⋯,n,j=0,1,2,⋯k如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：Yˆ=βˆ+βˆX+βˆX+⋯+βˆXi=1,2…ni011i22ikiKi根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解⎧∂Q=0⎪ˆ∂β⎪0∂nn⎪Q=0其中Q=∑e2=∑(Y−Yˆ)2⎪∂βˆ

2、iii⎪1i=1i=1⎨∂⎪Q=0∂βˆn2⎪2⎪⋮=∑(Yi−(βˆ0+βˆ1X1i+βˆ2X2i+⋯+βˆkXki))⎪∂i=1Q=0⎪⎩∂βˆk于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：⎧Σ(βˆ+βˆX+βˆX+⋯+βˆX)=ΣY011i22ikkii⎪Σ(βˆ+βˆX+βˆX+⋯+βˆX)X=ΣYX⎪011i22ikki1ii1i⎪⎨Σ(βˆ+βˆX+βˆX+⋯+βˆX)X=ΣYX011i2i2ikki2ii2i⎪⋮⎪⎪⎩Σ(βˆ0+βˆ1X1i+βˆ2X2i+⋯+βˆkXki)Xki=ΣYi

3、Xki解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值。正规方程组的矩阵形式⎛⎜n∑X1i⋯∑Xki⎞⎟⎛⎜βˆ0⎞⎟⎛11⋯1⎞⎛Y1⎞⎜⎟⎜⎟2ˆ⎜∑X1i∑X1i⋯∑X1iXki⎟⎜β1⎟⎜X11X12⋯X1n⎟⎜Y2⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜∑X∑XX⋯∑X2⎟⎜βˆ⎟⎜XX⋯X⎟⎜Y⎟⎝kiki1iki⎠⎝k⎠⎝k1k2kn⎠⎝n⎠即(X′X)βˆ=X′Y由于X’X满秩，故有−1βˆ=(X′X)X′Y将上述过程用矩阵表示如下：∂即

4、求解方程组：(Y−Xβˆ)′(Y−Xβˆ)=0∂βˆ∂(Y′Y−βˆ′X′Y−Y′Xβˆ+βˆ′X′Xβˆ)=0∂βˆ∂(Y′Y−2Y′Xβˆ+βˆ′X′Xβˆ)=0∂βˆ−X′Y+X′Xβˆ=0得到：X′Y=X′Xβˆ−1于是：βˆ=(X′X)X′Y例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，⎛1X1⎞⎜⎟'⎛11⋯1⎞⎜1X2⎟⎛⎜n∑Xi⎞⎟⎛1021500⎞(XX)=⎜⎟==⎜⎟⎜XX⋯X⎟⎜⋯⋯⎟⎜∑X∑X2⎟⎜2150053650000⎟⎝12n⎠⎜⎟⎝ii⎠⎝⎠⎜⎝1X⎟⎠n⎛

5、Y1⎞⎜⎟⎛11⋯1⎞⎜Y2⎟⎛⎜∑Yi⎞⎟⎛15674⎞X′Y=⎜⎜⎟⎟⎜⎟=⎜⎟=⎜⎜⎟⎟⎝X1X2⋯Xn⎠⎜⋯⎟⎝∑XiYi⎠⎝39468400⎠⎜⎟⎝Yn⎠可求得⎛0.7226−0.0003⎞−1(X′X)=⎜⎜⎟⎟⎝−0.00031.35E−07⎠于是⎛βˆ1⎞⎛0.7226−0.0003⎞⎛15674⎞⎛−103.172⎞βˆ=⎜⎟=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟⎜⎝βˆ⎟⎠⎝−0.00031.35E−07⎠⎝39648400⎠⎝0.7770⎠2正规方程组的另一种写法对于正规方程组X′Y=X′

6、XβˆX′Xβˆ+X′e=X′Xβˆ于是X′e=0(*)或∑ei=0(**)∑Xjiei=0i(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法样本回归函数的离差形式y=βˆx+βˆx+⋯+βˆx+ei=1,2…ni11i22ikkii其矩阵形式为y=xβˆ+e其中：⎛y1⎞⎛x11x21⋯xk1⎞⎛βˆ1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜y2⎟⎜x12x22⋯xk2⎟ˆ⎜βˆ2⎟y=⎜⎟x=⎜⎟β=⎜⎟⋮⎜⋯⋯⋯⋯⎟⎜⋮⎟⎜⎜⎟⎟⎜xx⋯x⎟⎜βˆ⎟y⎝1n2nkn⎠⎝k⎠⎝n⎠在离差形式下，参数的最小二乘估计

7、结果为−1βˆ=(x′x)x′Yβˆ=Y−βˆX−⋯−βˆX011kk随机误差项µ的方差σ的无偏估计可以证明，随机误差项µ的方差的无偏估计量为22∑eie′eσˆ==n−k−1n−k−1*二、最大或然估计对于多元线性回归模型Y=β+βX+βX+⋅⋅⋅+βX+µi011i22ikkii2Y~N(Xβ,σ)易知iiY的随机抽取的n组样本观测值的联合概率2L(βˆ,σ)=P(Y,Y,⋯,Y)12n121−2Σ(Yi−(βˆ0+βˆ1X1i+βˆ2X2i+⋯+βˆkXki))2σ=enn(2π)2σ1−(Y−

8、Xβˆ)′(Y−Xβˆ)122σ=en2n(2π)σ即为变量Y的或然函数对数或然函数为*L=Ln(L)1=−nLn(2πσ)−(Y−Xβˆ)(Y−Xβˆ)22σ对对数或然函数求极大值，也就是对(Y−Xβˆ)′(Y−Xβˆ)求极小值。因此，参数的最大或然估计为−1βˆ=(X′X)X′Y结果与参数的普通最小二乘估计相同*三、矩估计（MomentMethod,MM）OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组(X′X)βˆ=X′Y并对它进行求解而完成的。