多元线性回归模型的参数估计1

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1、练习亚洲各国人均寿命（Y）、人均GDP（X1）、成人识字率（X2）、一岁儿童疫苗接种率（X3）数据1.填空2.写出样本回归函数3.分析各国人均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的数量关系4.对所建回归模型进行检验第六讲多元线性回归模型的参数估计4引子:中国已成为世界汽车产销第一大国中国社会科学院《中国汽车社会发展报告2012-2013》显示，中国国内汽车产销量已近2000万辆。从2000年开始，中国汽车市场进入到黄金10年。汽车保有量从1600万辆攀升到1亿多辆。2010年成为全球第一大汽车市场，中国的汽车保有量已经超过日本

2、，成为仅低于美国的世界第二大汽车保有国。业内预计，2020年我国汽车保有量将突破2亿辆。是什么因素导致中国汽车数量的增长?影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的，经济增长、消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内外环境，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。5分析中国汽车行业未来的趋势，应具体分析这样一些问题：中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测）影响中国汽车销量的主要因素是什么？（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负）各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？所得到的数

3、量结论是否可靠？中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的产业政策？很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展，还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。怎样分析多种因素的影响？6●多元线性回归模型及古典假定●多元线性回归模型的估计●多元线性回归模型的检验●多元线性回归模型的预测第三章多元线性回归主要讨论:7一般形式：对于有K-1个解释变量的线性回归模型注意：模型中的（j=1,2,---k）是偏回归系数样本容量为n偏回归系数：控制其它解释量不变的条件下，第j个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响，即对Y平均值“直接

4、”或“净”的影响。一、多元线性回归模型的基本概念8多元线性回归中的“线性”指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则可以是线性的，也可以是非线性的例如：生产函数取对数这也是多元线性回归模型，只是这时变量为lnY、lnL、lnK9多元总体回归函数条件期望表现形式：将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数，如:注意：这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线个别值表现形式：引入随机扰动项或表示为10多元样本回归函数Y的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数或回归剩余（残差）：其中11多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值，可表示为用

5、矩阵表示11二、多元线性回归模型的矩阵表示12总体回归函数或样本回归函数或其中：都是有n个元素的列向量是有k个元素的列向量（k=解释变量个数+1）是第一列为1的n×k阶解释变量数据矩阵，(截距项可视为解释变量总是取值为1）矩阵表示方式多元线性回归模型与回归方程的表达式14假定1：零均值假定（i=1，2，---n）或E(u)=0假定2和假定3：同方差和无自相关假定：或用方差-协方差矩阵表示为:(i=j)(i≠j)0三、多元线性回归模型的基本假定15假定5:无多重共线性假定(多元中增加的)假定各解释变量之间不存在线性关系，或各个解释变量观测值

6、之间线性无关。或解释变量观测值矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。Ran(X)=k+1Ran(X'X)=k+1即(X'X)可逆假定6:正态性假定15假定4：随机扰动项与解释变量不相关普通最小二乘法（OLS）原则：寻求剩余平方和最小的参数估计式即求偏导，并令其为0其中即16四、多元线性回归模型的估计17用矩阵表示的正规方程偏导数因为样本回归函数为两边左乘根据最小二乘原则则正规方程为18由正规方程多元回归的OLS估计量为当只有两个解释变量时为：注意：为X、Y的离差对比简单线性回归中OLS估计式样本容量要求最小样本容量样本容量必须不少于模型中解

7、释变量的数目（包括常数项）n≥k+1。基本要求的样本容量经验认为：当n≥30或n≥3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。201、线性特征是Y的线性函数，因是非随机或取固定值的矩阵2、无偏特性3、最小方差特性在所有的线性无偏估计中，OLS估计具有最小方差结论：在古典假定下，多元线性回归的OLS估计式是最佳线性无偏估计式（BLUE）五、OLS估计式的统计性质21其中：(由无偏性)(由同方差性)(由OLS估计式)21注意是向量的方差-协方差22六、OLS估计的分布性质基本思想：●是随机变量，必须确定其分布性质才可能进行区间估计和假设检验

8、●是服从正态分布的随机变量，决定了Y也是服从正态分布的随机变量●是Y的线性函数，决定了也是服从正态分布的随机变量23●的期望●的方差和标准误差：可以证明的方差—协方差矩阵为这里的（其中是矩阵中