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《2021年琴生不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精品word可编辑资料-------------自招竞赛数学讲义琴生不等式和幂平均不等式知识定位不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。知识梳理琴生不等式1.凸函数的定义：设连续函数fx()的定义域为,ab，对于区间,ab
2、内任意两点xx1,2，都有x1x2fx(1)fx(2)f()，则称fx()为,ab上的下凸（凸）函数；22x1x2fx()1fx(2)反之，若有f()，则称fx()为,ab上的上凸（凹）函数。22x23常见的下凸（凸）函数有ya，[0,)上的ytanx，R上的yx，yx等2常见的上凸（凹）函数有[0,)上的ysinx，ycosx，R上的ylnx等22.琴生(Jensen)不等式x1x2xnfx()1fx(2)fx(n)若fx()为,ab上的下凸（凸）函数，则f()nn上式等号在xx...x时取到12n反之显然：若fx()为,ab上的上凸（凹）函数，则上式
3、不等号反向琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）n2时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；x1x2xkfx(1)fx(2)fx(k)2）假设nk时命题成立，即f()kkx1x2xk1那么当nk1时，设Ak1，k1第1页，共10页----------精品word可编辑资料-------------x1x2xkxk1(k1)Ak1(k1)A(k1)Akkk1k1fA(k1)f()f()2k2kfx(i)1xk1(k1)Ak11i1fx(k1)(k1)(fAk1)[(fAk)f()][]2k2kk所以2kfA(k1)fx()1fx(2)fx(k)fx(
4、k1)(k1)(fAk1)所以(k1)(fAk1)fx()1fx(2)fx()kfx(k1)，变形即得证。3.加权平均琴生不等式：nnn若fx()为,ab上的下凸（凸）函数，且i1,i0，则f((ixi)ifx(i)i1i1i14．曲线凸性的充分条件：设函数fx()在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意xI，f''()x0，则曲线yfx()在I内是下凸的；（2）如果对任意xI，f''()x0，则yfx()在I内是上凸的。幂平均不等式nnxi1xi1i1i1若，且0,0，xi0，则()()．nn（幂平均不等式的证明见当堂练习题）333222abcabc
5、推论：由幂平均不等式得333例题精讲【试题来源】2006复旦【题目】设xx1,2(0,)，且x1x2，下列不等式成立的有2tanx1tanx2x1x2tanx1tanx2x1x2（1）tan（2）tan2222sinx1sinx2x1x2sinx1sinx2x1x2（3）sin（4）sin2222【选项】（A）（1）（3）（B）（1）（4）（C）（2）（3）（D）（2）（4）【试题来源】【题目】证明：(1)fx()sinx在[0，)上是上凸函数第2页，共10页----------精品word可编辑资料-------------(2)gx()lgx在(0，
6、)上是上凸函数(3)hx()tanx在[0，)上是下凸函数2【试题来源】【题目】a1a2ann用琴生不等式证明均值不等式AnGn，即：aiR，则aa12an．n【试题来源】【题目】nnxi1xi1i1i1证明幂平均不等式：若，且0,0，xi0，则()()nn【试题来源】【题目】a，，bcR，且a+b+c=3，求证：8a18b18c19．第3页，共10页----------精品word可编辑资料-------------【试题来源】【题目】fx()定义在(a，b)上，fx()在(a，b)上恒大于0，且对x1，x2(a，b)，x1x22fx()(1fx2)[
7、(f)]。2x1x2xnn求证：当x1，，x2xn(a，b)时，有fxfx(1)(2)fx(n)[(f)]。n【试题来源】【题目】n设x0(i1,2,,)n，x1，iii1x1x2xnx1x2xn求证：1x11x21xnn1【试题来源】【题目】1a1b1c1已知abc,,0，abc1，求证：abc3第4页，共10页----------精品word可编辑资料-------------【试题来源】【题目】证明赫尔德（Holder）不等式：abi,(1iin)是2n个正实数，,0,1，则ab11ab22abnn(a1a2an)(b1b2bn)【试题来源】匈牙利
8、奥林匹克数学竞赛【题目】22xy求椭圆1ab0内接n边形的最大面积22ab习题演
