第一讲 琴生不等式、幂平均不等式

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1、高二数学竞赛班二试讲义第一讲琴生不等式、幂平均不等式班级姓名一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的下凸（凸）函数；反之，若有，则称为上的上凸（凹）函数。琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若为上的下凸（凸）函数，则（想象边形的重心在图象的上方，个点重合时“边形”的重心在图象上）琴生(Jensen)不等式证明：1）时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设时命题成立，即那么当时，设，所以所以，得证2．加权平均琴生(Jensen)不等式：若为上的下凸（凸）函数，且，则3．曲线凸性的充分

2、条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,，则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,，则y=f(x)在I内是上凸的。4．幂平均不等式：若，且，，则．由幂平均不等式得9二、例题精析例1．设，，求证：例2．已知，，求证：例3．应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式：若，且，，则9例4．应用琴生(Jensen)不等式证明赫尔德（Holder）不等式：是个正实数，，则三、精选习题1．在圆内接边形中，试证明正边形的面积最大。2．设是实数，则在中，有3．设，且，求证：4．已知函数，，证明：5．已知，且，求证：96

3、．若，且，求证：7．已知，且。求证：8．已知（1）当时，有不等式；（2）当时，有不等式。9．设是内一点，求证：中至少有一个小于或等于。10．设，且，证明：四、拓展提高：11．已知，且，求证：9高二数学竞赛班二试讲义第一讲琴生不等式、幂平均不等式例1．【分析】，适合应用琴生不等式【解答】设函数，则，所以在上下凸，所以又由算术平均不小于平方平均得所以所以【思考】构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算是关键。例2．【分析】两边取自然对数，把积化为和【解答】因为在上是上凸函数，且由加权平均琴生不等式（）所以【思考】“两边取自然对数，把积化为和”是处理乘积问

4、题的常用手段例3．【分析】构造解题【解答】证明：时，为下凸函数，9，用代替，得证。当和时，有同样的结论。【思考】两边同形，把看成是关键。由幂平均不等式得例4．【分析】变形：，再变形对第项取自然对数，得是加权平均琴生(Jensen)不等式的形式。【解答】证明：令，上凸，，所以累加得，得证。推广：，对，有证明：【思考】好方法是在有目的的变形之后想到的。1．设圆半径为，内接正边形的面积为，各边所对圆心角分别为，函数在区间上是上凸函数，（因为）所以故当时，正边形的面积最大，最大值为2．当时，在区间上是下凸函数，9（因为，）所以3．的图象是等轴双曲线的上支，在区间

5、上是下凸函数，所以，所以4．，所以在上是下凸函数所以5．令，则设，则，所以在上是下凸函数，于是，由琴生不等式得6．由为上凸函数，有所以所以故7．令，，，其中，，，故可知，是上是上凸函数9由琴生不等式8．设，则，（1）当时，，在上是上凸函数，所以（因为，所以等号不能取）所以递推得，从而有，故（2）当时，，在上是下凸函数，类似（1）可证9．如图，引进，所以设，则所以在时上是上凸函数，所以中必有一个其正弦值不大于，设，当时，命题成立，当时，必有，命题也成立。10．由，得，所以设，则，，所以在时上是上凸函数，所以即所以11．因为，9设，则它是上凸函数，由琴生不等

6、式得又，所以所以9