琴生不等式及不等式综合(教师).doc

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1、第四章琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数的定义域为(a，b)，如果对于(a，b)内任意两数x1，x2，都有①则称为(a，b)上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的为区间(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若是区间(a，b)上的凸函数，则对任意的点x1，x2，…，xn(a，b)，有取“=”条件：x1=x2=…=xn证明：注：更一般的情形：设是定义在区间(a，b)上的函数，如果对于(a，b)上任

2、意两点x1，x2，有（其中），则称是(a，b)上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设，若是区间(a，b)上的下凸函数，则对任意的x1，x2，…，xn(a，b)有．取“=”条件：说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式．例1证明：(1)在上是上凸函数(2)在上是上凸函数(3)上是下凸函数证明：(1)对(2)对即：．(3)当时（∵）即：．·3·例1用琴生不等式证明均值不等式，即：．证：∵设，则为上的上凸函数由琴生不等式：即例3，且a+b+c=3，求证：．证明：设，则上的凹函数．由琴生：∴．例4定义在(a，

3、b)上，在(a，b)上恒大于0，且对有．求证：当时，有．证明：由题：对，有，两边取常对：则有即于是：令，则为(a，b)上的凸函数由琴生不等式：对，有即．三个重要的不等式强化练习（均值、柯西、排序不等式）1．用柯西不等式证明：若，求证：．证：由柯西．2．设．求证：证明：由柯西：∴．3．设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整数．证明：．证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排序，且b1

4、取“=”号．1．若，求的最小值．解：不妨设由排序不等式，有（同乱）（同乱）两式相加，可得当且仅当a=b=c时取“=”号．·3·