爱琴森不等式.doc

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1、琴森（Jensen）不等式定义如果对于任意的x1，x2∈[a，b],x1x2，都有f()[f(x1)+f(x2)]），则称f(x)为区间[a，b]上的凹函数（如图1）。如果都有f()[f(x1)+f(x2)]），则称f(x)为区间[a，b]上的凸函数（如图2）。abxy图2abxy图1定理6（琴生不等式）如果f(x)为区间[a，b]上的凹函数，则对于任意的x1,x2,…,xn[a，b]，都有f()[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]如果f(x)为区间[a，b]上的凸函数，则对于任意的x1,x2,…,xn[a，b]，都有f()[f(x1)+f(x2)+…+f(

2、xn)]．两个不等式中等号成立的充要条件是x1=x2=…=xn。例1在中，求证。证明因为在内是凸函数，由琴生不等式得，即。故不等式成立．由琴生不等式中等号成立的条件可知，当且仅当时，即是等边三角形时，不等式中的等号成立．