凸函数与琴生不等式(带解答)

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1、周六自主招生培训讲座第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数的定义域为(a，b)，如果对于(a，b)内任意两数x1，x2，都有①则称为(a，b)上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的为区间(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）②下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．③的二阶导数，则为下凸函数；的二阶导数，则为上凸函数。常见的上凸（凹）函数，常见的（下）凸函数，二、琴生不等式性质：若在区间为下凸函数，则对，总有；当且仅当时取到等

2、号。若在区间为上凸函数，则对，总有。当且仅当时取到等号。三、加权形式：7周六自主招生培训讲座附：应用，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式，等号成立条件。而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的，等号成立条件。常用不等式：例1证明：(1)在上是上凸函数(2)在上是上凸函数(3)上是下凸函数证明：(1)对(2)对即：．(3)当时7周六自主招生培训讲座（∵）即：．例1设是锐角的三个内角，求证：例2，且a+b+c=3，求证：．证明：设，则上的凹函数．由琴生：∴．例3设是

3、的三个内角，是非负常数，求的最大值。例4用琴生不等式证明均值不等式，即：．证：∵设，则为上的上凸函数由琴生不等式：即例5已知，求证：7周六自主招生培训讲座证：例1已知：求证：.例2设均大于0，证明：，其中，且.例37周六自主招生培训讲座例1（2011,湖北）（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；（Ⅱ）设均为正数，证明：（i）若，则（ii）若，则。解：（Ⅰ）max=f(1)=0（Ⅱ）证明（i）令g(x)=lnx(x>0),则g”(x)=g(x)在（0，+）上是凹函数，对于ak(0,+),(k=1,2,…，n)，由

4、琴生不等式：(ii)由(i)知，g(x)=lnx在上是凹函数，由琴生不等式：10对于bk(0,1),且（*）7周六自主招生培训讲座例1(2012，湖北22题)（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数.若，则；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.解析：（II）证明：令g(x)=lnx(x>0),则g(x)在上为凹函数（1题已证）10当，中至少有一个为0时，则成立；20若，>0时，由

5、琴生不等式：ln综上，原不等式成立。（III）命题形式：设则证明：10当,……an中至少有一个为0时，原不等式显然成立。20当ak>0时，由琴生不等式：综上，原不等式成立。例2设半径为1的半圆上依次有个点线段的长度分别记为，求证：，其中例3设是圆的内接边形，且点在此边形的内部。又设7周六自主招生培训讲座，其中求证：7