第一讲凸函数与琴生不等式(带解答)

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1、第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数/（兀）的定义域为（日，勿，如果对于&方）内任意两数山，X2,都有f（州+疋）＜/（西）+/（冯）①22则称/（兀）为Q，切上的下凸函数.注：①若把①式的不等号反向，则称这样的/（兀）为区间&方）上的上凸函数.（或凹函数）②下凸函数的儿何意义：过y=/O）曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）.③/（切的二阶导数fH（x）＞0,则/（兀）为下凸函数；/（兀）的二阶导数fx）＜0,则/（%）为上凸函数。常见的上凸（凹）函数，0,—上，y=sinxyy

2、=cosx,y=Insinx,y=Incosx_2丿常见的（下）凸函数，［0,+8）上，y=x2,y=x39y=x"X二、琴生不等式性质：若/（兀）在区间/为下凸惭数，则对坷，无2,£e/,单有/（西+勺+…+兀）＜/（西）+/（兀2）+•••+/（£）.心nn，当且仅当坷=兀2==£时取到等号。若/（兀）在区间/为上凸函数，则对西，兀2，・・・，兀，丘/，口有/（兀1+兀2+•••+©）＞/（兀］）+/（花）+・・・+/（兀）nn当且仅当=x2==兀时取到等号。三、加权形式:对任意一列d］,,aneR+,a}+a2++an=1,

3、函数/⑴是［d,b］上的凸函数，有/⑺內+a2x2+anxn)aj(x^+a2f(x2)++anf(兀).附：应用加洛，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式4+4+・・・+4»，等号成立条件4=。2=・・・=。〃466Z/z(6f

4、+6^2+■••+Cln)J而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的n2(—+—+•••+—

5、)g(x)=lgx在(0,+8)上是上凸函数h(x)=tanx在[0,兰)上是下凸函数2证明：⑴对VX],x2G[0,71)•心)+.心2)=丄(“"“)=血4©口5血4=/(4)222222⑵对X/X],x2e

6、0,+oo)=lgj^£

7、=a2=・・・=色。%6?2ClnQ]+色+•…+%?常用不等式:BP：&(占)+£(吃)2x}+x2++£sinxtanxx+tan=1COSXj*sinx2cosx2⑶当05舛，X2<~^时sin(x)+兀2)_2sin(x)+x2)cosX]cosx2cos

8、(兀]+*2)+COS(X]-x2)2sin(Xj“西+不sinaa.>=2tan(•=tan—)cos(x,+x2)+l21+cosq2BP：如上空n/?(匕鱼).22例2设A、B、C是锐角AABC的三个内角，求证：cosA+cosB+cosC<—;2例3“，b,cgR,且a+b+c=3,求证：Jga+1++1+QWc+1W9.证明：设f(x)=>/8x+l,则/(x)为(0,+8)上的凹函数.由琴生：扣⑺)+/(b)+/(c)J

9、±£)=/⑴=3/⑷+f(b)+/(c)<9•例4设4、B、C是ABC的三个内角，2是

10、非负常数，求+J吨吨+2的最大值。例5用琴生不等式证明均值不等式A”》G”，即：qvF,则4+6++%如25•n证：•.*qgR十设f(x)=lgx,则f(x)为(0,+oo)上的上凸函数由琴生不等式：丄(lgq+lgd°++lgqJ51g―二^nn即莎二严匕+Wn例6已矢口，兀>0,0=1,2,,/2),n>2,X]+x2++兀=1,求证：(1+—r+(!+—r++(i+—r>“G+1)“x}x2证:丄[(1+丄)"+(1+丄)"+nXjx2+(i+丄r]>J(i+丄r(i+丄)"(i+丄)"兀VK兀2兀=(1+丄)(1+丄)(

11、1+—)壬兀2£（利J用结论{（i+2）（i+乞）・・・（i+如）Fni+（如冬…如M）；aa2anaa2an）{.-.［（1+—）（i+—）...（i+—）r>i+（1r=i+.——L=州兀2乙州兀2…兀仪兀旳…兀”乂・・•饭丁壬w…+—丄“n111-•••[(l+——)(l+——)・・・(l+——)r>l+nK兀2兀“(I+—)(1+—)•••(!+—)>(/?+1)"兀]兀2百(1+丄)"+(1+丄)"+・・・+(1+丄)">n(n+l)wX.XoX.例7已知：x(>0/z=1,2,昇2)，n>2,x{+x2++xn=L

12、求证:例8设q・0・均大于0,i=1,2,3,,n.证明:其中p>i>且—I—=i.pq例9若P为AABC内任一点，求证ZPAB、ZPBC、ZPC4中至少有一个小于或等于30。；证：设ZPAB二Q、乙PBC=队ZPCA=y,^ZPAC=aZPBA