用凸函数与琴生不等式解决近两年的湖北理数压轴题.doc

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1、用凸函数与琴生不等式解决近两年的湖北理数压轴题郭子可当函数f(x)二阶可导时，xDf"(x)>0f(x)在区间D上严格下凸，下凸函数也称凸函数f"(x)<0f(x)在区间上严格上凸，上凸函数也称凹函数琴生不等式的相关结论：（网上可查出详细证明）(1)f(x)为凸函数(i)f·[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)],当且仅当x1=x2=……xn时，取等号（ii）1,2,……，n0(不含为0)，推广至一般的形式f(2)f(x)为凹函数，将上述“”改为“”即可分析2011、2012年的湖北理数压轴题，均有这样的形式，且提供的答案中有

2、一些步骤很难想到，所以用常规方法求证是有一定困难的。然而，用构造函数g(x)=lnx,可得到，再借助琴生不等式的相关结论，求证将十分简便，没有较大的障碍。1.（2011,湖北）（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；（Ⅱ）设均为正数，证明：（i）若，则（ii）若，则。解：（Ⅰ）max=f(1)=0（Ⅱ）证明（i）令g(x)=lnx(x>0),则g”(x)=g(x)在（0，+）上是凹函数，对于ak(0,+),(k=1,2,…，n)，由琴生不等式：(ii)由(i)知，g(x)=lnx在上是凹函数，由琴生不等式：10对于bk(0,1),且（*）由（

3、*）、（**）综合，可得出原不等式成立。对于2011的压轴题，原题没有给定限制，完全可以脱离原函数，重新构造函数。但对于2012的压轴题，原题对解题方法有所限制，这里把它看做无限制，用以上类似的方法求证。2.(2012，湖北22题)（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数.若，则；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.解析：（II）证明：令g(x)=lnx(x>0),则g(x)在上为凹函数（1题已证）10当，中

4、至少有一个为0时，则成立；20若，>0时，由琴生不等式：ln综上，原不等式成立。（III）命题形式：设则证明：10当,……an中至少有一个为0时，原不等式显然成立。20当ak>0时，由琴生不等式：综上，原不等式成立。【作者单位：湖北省武穴市育才高中】