Majorization_不等式其实是琴生

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1、Majorization不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广Majorization不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广。正如琴生不等式对一个凸(凹)的函数给出一个极值(极大值或极小值)，而Majorization不等式能够在某些情况下，如以下例子一样，同给出两者。为了引述这个不等式，首先介绍对有序实数集的majorization概念。定义：设(x1,x2,....,xn)、(y1,y2,....,yn)为两个n元有序实数组，且满足以下条件ox1≧x2≧　....≧xn，y1≧y2≧　..

2、..≧yn，且o x1≧y1，x1+x2≧y1+y2,x1+x2+x3≧y1+y2+y3,.....,x1+....+xn-1≧y1+....+yn-1，及ox1+....+xn=y1+....+yn；则记(x1,x2,....,xn)(y1,y2,....,yn)。其实以上对于的比较方法是由Schur所定义，其用意是说明：当排列总和相同的数列由大到小，对于已知一数列，定理(Majorization不等式)：设函数f在闭区间I=[a,b]为凸的，且(x1,x2,....,xn)(y1,y2,....,yn)其中实

3、数xi,yj在I。则有f(x1)+f(x2)+....+f(xn)≧f(y1)+f(y2)+....+f(yn)。此外，对于严格凸的函数f，等号成立当且仅当这两个n元组相等，即(x1,x2,....,xn)=(y1,y2,....,yn)。对于下凹的函数，只须要将结论中的不等式的方向换过来。注：Majorization不等式的证明将放在最后。 以下要证明琴生不等式可由Majorization不等式中得出。这可由以下的观察：(x1,x2,...,xn)(x,x,....,x)，其中x是x1,x2,...,xn的平均

4、值。应用Majorization不等式而得到琴生不等式。只须要证明：对于k=1,2,....,n-1，有x1+x2+...+xk≧kx。(略去)。　1.对于锐角三角形ABC，证明：1≦cosA+cosB+cosC≦3/2。试确定等号成立的充要条件。证明：不妨假设C≦B≦A，已知A+B+C=π，因而C≦π/3≦A≦π/2。所以有(π/2,π/2,0)(A,B,C)((π/3,π/3,π/3)。已知余弦函数cos(x)在闭区间[0,π/2]上是严格凹的。由Majorization不等式，得1=cos(π/2)+cos

5、(π/2)+cos(0)≦cosA+cosB+cosC≦cos(π/3)+cos(π/3)+cos(π/3)=3/2。 2.证明：若a、b为非负实数，则。(MathHorizons,1995年十一月)证：由于左右两式对a、b是对称的，不妨假设a≦b。记x1=b+3√b、x2=b+3√a、x3=a+3√b、x4=a+3√a。得知x1、x4分别是四个数中最大、最小的。又由于x1+x4=x2+x3，得(x1,x4)(x2,x3)或者(x3,x2)视乎x2、x3的大小。由于函数f(x)=3√x在区间[0,+∞)上是严格凹

6、的，由Majorization不等式，得。 3.试求a12+b12+c12的极大值，其中-1≦a、b、c≦1及a+b+c=-1/2。证：分下列几步：o已知函数f(x)=x12在区间[-1,1]上是凸。(这可由二阶导数f''(x)≧0而得到；否则要运用f(x)=((x2)2)3，并且每个函数在适当的定义域上用琴生不等式。)o如果1≧a≧b≧c≧-1，及a+b+c=-1/2，则有1/2=1-1/2≧-c-1/2=a+b，所以有(1,-1/2,-1)(a,b,c)，由Majorization不等式，有a12+b12+c

7、12=f(a)+f(b)+f(c)≦f(1)+f(-1/2)+f(-1)=2+2-12。4.(1999IMO)设n是一个固定的整数，n≧2。a.确定最小常数C，使得不等式Σ　　1≦i

8、2+x22)=2(m4-h4)≦4m4=(x1+x2)4/8。等式成立当且当仅h=0，即x2=x1。o当n>2，令ai=xi/(x1+...+xn)，则a1+...+an=1。作为以的不等式，原不等式等价地改写为Σ1≦i