例谈加权琴生不等式的应用_胡宇晨

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1、２０１５年第９期１５例谈ｉ权琴生不等式的应用＃胡宇晨指导教师牛松一３２３５０００（安徽省淮北市第中学髙二（班，））２２－－－中图分类号．３Ａ文章１００５６４１６２０１５０９００１５０３：〇１文献标识码：编号：（）一琴生不等式是个著名不等式其在竞若／．（＊）为严格上凸函数，则不等式①反向，赛中的地位却不及均值不等式及柯西不等可利用数学归纳法证明，本文因篇幅有式．但琴生不等式．，尤其是加权琴生不等式限不多作叙述，“”一如果利用好将会是不等式证明中又道亮本文中的．，表示轮换对称和；ｓ陬的风景线．＝１、

2、、＞０Ｈｘ＋１？设ａｇｖｚ＋ｚ例＿，ｙ求本文通过几个例子来展现加权琴生不等－ｚ以、＾ｘ（２ｙ）ｘ＾ｚ＝￣ｆ（）＾式的妙用．ｒ＾３ｙ⑴定义设／（＊）为定义在区间乃（￡Ｒ）上的最大值．的函数．若对任意的ＡＤ意到Ａ６，有解注，－－２＊＊＋ｌ＊ｘｚ／（ｉ（０２）ｆ（ｙ）ｆｘｙｚ＝）ｙ１＋＊＋３ｌ－ｒ（ｔ）（ｘｔ£０！ｆ２）（［，］），＾２－Ｄ上的下凸函数．（ｙ＾Ｉ则称／Ｕ）为区间；＝Ｖｔ２＋２（广４＋１－若／（岣（０％）Ｘ＋ｌ－＾ｔｆ（）（ｔ）（ｘ，ｌｆ２）考虑函数／（

3、４则称／．（＊）为上凸函数％＝＞〇定理设函数／Ｕ）在区间Ｚ？上二阶可易知，广（均２，。＋２）导）上为下凸函数的充分必，则／（４在区间Ｚ＿４要条件是：Ｘ才任意的＊£／），有／？０，反之则为上凸＿？因此．，／Ｕ）为上凸函数加权琴生不等式设＝ｅＲｉｌ２ｐ，，ｆ＋（由加权琴生不等式得２ｒ－＊２－，Ｓ＾（）＾Ｌ（ｒ）函数意的ｗ．／）在（），则对任，以，＋—＝Ｐ＞＋＋１＝＊ｙ－ｉ／２ｐｎ／ＺＩ（）的情形下有由均值不等式知２ｘ＾ｘ＇ｒ／２ｉｆ（）＞①＋ｚ＋Ｚ＊矣？＋＋Ｚ．ＰｉＳＰｉｉ

4、巧ｙ（ｙ）（）士＝＝…当且仅时．巧，上式等号成立因为／Ｕ）为增函数，所以，＊＝／２ｒ－２〇１５－０３－－－收稿日期１３修回日期：２０１５０５２０（）：＾７＾４＊本文作者系第六届陈省身杯全国髙中数学奥林匹克故彳丨夏令营营员／（＊山２）矣，当且仅７１６中等数学时．由加权琴生不等式得，上式等号成立设分别表示三角＋＋？咏／Ｓ＜叫形的Ｓ和内以日（＝１注意到＊为减函数且／１．（？Ｃ，／（），）Ｖ，Ｌ、，ａ＋６ｓｉｎ＾＋６＋ｃ－Ｌ（）２２故只要证？感幻．２＞（）证明注意到，原式为齐次式，不妨设

5、利用ａ＋６＋ｃ＝１，将上式齐次化后得＋ｂ＝．２２２ａ＋ｃｌ－－－３ａｂｃ＋ｂａｃ＋ｃａｂ＞０？［（）（）（）］＊＝￣考虑函数／（ｓｉｎ＊ｅ０７＿＝＝＝）（（，〇）上式显然成立６ｃ｜，当且仅当ａ＋＝时上式等号成立．易知ｃｏｓ＞０，，广Ｕ）＋｜，２２上面三道例题直观地展现了加权琴生不＂＝－ｓｉｎ＜０？？？等式在解题中发挥的功效／（）士奮而下面几道例题并不容易想到加权琴生田仆／Ｔ、斗ｊ忍新－不等式麵要些■的变臟巧．ａ＋ｂ．ｖｏ＋６Ｃ１利用加权琴生不等式加强命题

6、Ｖ（）ｊｊ＾＾ｊ＾｜“”４为ＩＥ数’由大角对大边及切比雪夫不等式得严ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ＝１．证明且｜］七：＾〇＋６＋ｃ＞ｌ＋ｆｉ＋Ｃ＝ｙ（）（）ｙ—Ｊａ＋ｌ＾ＶＶ４－ｖ＾Ｖｃ＝ｆＡａＡ＾＾Ｊｚｊｉ＝ｉ：＾ｊ［）ｙｒ＾ｙ＾ｒ（第四届中国数学奥林匹克）＜１－！！＾＝）证明痛西不等式知．因为＾为所以，要的式强为＝１＾Ｓ＾．２ｙｆ．巧）（）｜了：ｉ＝￣ｌｘ＾Ｋ＾ａ＝ｂ＝ｃ＝ＡＡ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｗｉｊｊ＊＝．考虑函数／（：）时．，上式等号成立＾ｙ＾例３已知ａ、６、Ｃ＞０．证明

7、：３１＿Ｔ易知＊＝１－＊＞０ａｂｃ，厂（）（），＾，ｒ２ｉＴ一￣＇Ｊｚ■—＾１１Ｈ－２Ｖ〇＋８６ｃ＾／ｂ＋８ｃｏ＋８ａ６３＼＿／ｉ＿ｘ＝ｉ＿－＾＞ｎＵｘ．Ｊ｛）＾）证明注意到，原式为齐次式，不妨设ａ＋ｂ＋ｃ＝ｌ．＊凸函数．因此，／（）为下加权琴生不等得考虑酿／＝（＊）知￥ｆ＾１Ｘ＝？ｆｊＸ＾／＊－－ｉｆｉｉ）Ｓ？ｒ（）Ｂ＝＝１１ｉ，－＇ｆ＝－易知＊＜〇－，／（），ｌ±ｘｈ）Ｊ＂－－１ｘ＝＊＞０．ｆ（）！由柯西不等式知Ｊ办．

8、＾ｉ＝ｌ汀因此．下凸函数