例谈坐标伸缩变换在解题中的应用_胡浩鑫

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1、○数学教学与研究2011年第7期周刊例谈坐标伸缩变换在解题中的应用胡浩鑫（浙江省温州中学，浙江温州325000）一、新课程在选修4系列的《坐标系与参数方程》中介绍了圻圻圻λx-λx31设点C′分A′B′的比为k′，即A′C′=k′C′B′，则k′==有关坐标伸缩变换的概念。λx-λx23定义：设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在μy-μy31x′=λxλ＞0=k变换φ:⊥的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，μy-μyy′=μyμ＞023y′），则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩性质4的证明：变换。设A（x

2、1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则A′（λx1，μy1），B′（λx2，μy2），若能充分挖掘伸缩变换φ的性质，并应用于解析几何的解C′（λx，μy）33题过程中，有时可以大大地减少计算量。伸缩变换φ的常见性111111质有：则S=1λxλxλx%=1λμxxx%=λμS△A′B′C′123123△ABC性质1：φ保持结合性不变，即若在φ的作用下点P对应点2μy1μy2μy32y1y2y3P′，曲线f（x，y）=0对应到曲线F（x，y）=0，则点P′在曲线F（x，y）=S△A′B′C′所以=λμ0上的充要条件是点P在曲线f

3、（x，y）=0上.S△ABC性质2：若在φ的作用下A，B两点对应到A′，B′，若直线AB三、下面举例说明上述性质的应用μ的斜率为k，直线A′B′的斜率为k′，则k′=k.例1.北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图1λ所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点性质3：若在φ的作用下，共线的三点A，B，C对应到共线的向内层椭圆引切线AC、BD，设内圻圻三点A′，B′，C′，则点C分AB的比等于点C′分A′B′的比.22xy层椭圆方程为+=1（a＞b＞S22△A′B′C′性质4：若在φ的作用下，△ABC对应到△A′B′C′，

4、则=λμ.abS△ABC2x二、下面给予性质3和性质4的证明过程0），外层椭圆方程可设为2性质3的证明：（ma）2设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则A′（λx1，μy1），B′（λx2，μy2），y+=1（a＞b＞0，m＞1），若ACC′（λx，μy）.233（mb）圻圻圻x-xy-y31319设点C分AB的比为k，即AC=kCB，则k==与BD的斜率之积为-，求椭圆x2-x3y2-y316图122k132…………①令

5、BC

6、=

7、AB

8、，得：=，即k-4k+4k-1=0，22由OA⊥OB，得xx+yy，从而m+n-

9、2=0…………②1+4k4+k1212%%%23±姨5联立①②两式解得m=2（姨2-1），n=2（2-姨2）；也即（k-1）（k-3k+1）=0，解得k=1或k=.%2%22所以，椭圆方程为2（姨2-1）x+2（2-姨2）y=1.所以，有三个这样的三角形.点评：此题利用充分利用椭圆方程中的字母的对偶关系，22点评：此题利用对偶关系非常快捷地由

10、AB

11、得到

12、BC

13、，并巧妙地得到y1+y2，y1y2的值。且假设k＞0，从而达到简化运算的目的。在高中的解析几何计算中只要题目中的式子出现了类似例2.中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=

14、1，的对偶的量，就可以使用这种对偶关系来简化运算。在高中数%姨2学的其他板块都可以发现有类似的对偶关系，希望可以帮助交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且2学生稍微从繁复的运算中解脱出来。最后留下两个题目，读者OA⊥OB，求椭圆的方程.可试着加以运用。2222解：设椭圆方程为mx+ny=1，联立椭圆与直线方程得：xy1.已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，222（m+n）x-2nx+n-1=0，ab从而x+x=2n，xx=n-1；111212且OP⊥OQ，其中O是坐标原点，求+的值.m+nm+n22a

15、b将两式中m，n的位置互换222mm-12.椭圆mx+ny=1与直线x+y=1交于A、B两点，C是线段AB得y+y=，yy=；1212%m+nm+n%姨2%%的中点，若

16、AB

17、的长度是2姨2，直线OC的斜率为（O为nm姨2m姨22所以M（，），由OM的斜率为得：=m+nm+n2n2坐标原点），试确定椭圆的方程.62周刊2011年第7期○数学教学与研究的离心率.SS3%3△P′A′B′△P′A′B′姨由性质4，=ab，从而S==ab为定值.x′=bx△PAB解：定义伸缩变换：φ：，则在φ的作用下内外层椭圆S△PABab4y′=ay例3.（

18、2008年安徽省数学竞赛）如图5，设点A（1，1），点B，C2222222分别对应圆x+y=ab和圆x+y=（mab），点A，B，C，D分别对应22在椭圆x+3y=4上，求S的最大值，并求出取