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《立体几何中的向量方法考点解读1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、基础梳理1．空间向量的坐标表示及运算(1)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
2、a
3、＝＝，cos〈a
4、，b〉＝＝.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝
5、
6、＝.2．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量如图所示，点P在l上的充要条件是：存在唯一实数t使＝＋ta(*)其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则*可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共
7、面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.10(4)点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面
8、α的距离d＝.一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行(2)垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础．双基自测1．两不
9、重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( )． A．平行B．相交C．垂直D．不确定解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.答案 A2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )．A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)解析 ∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥，在选项A中，＝(1,4,1)，∴n·＝0.答案 A3．(2011·唐山月考)
10、已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则·＝0，且·＝0是·＝0的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 由，得·(－)＝0，即·＝0，亦即·＝0，反之，若·＝0，则·(－)＝0⇒·＝·，未必等于0.答案 A4．(人教B版教材习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c10＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是( )．A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析 ∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴
11、a⊥b.答案 C5．(2012·舟山调研)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．则即令z＝1，得∴n＝，∴平面ABC的单位法向量为±＝±.答案 ± 考向一 利用空间向量证明平行问题【例1】►如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[审题视点]直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长
