考点38-立体几何中的向量方法

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1、温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点38立体几何中的向量方法一、选择题1.（2012·陕西高考理科·Ｔ5）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（）(A)(B)(C)(D)【解题指南】根据已知坐标系和线段之间的关系写出点A，B1，B，C1的坐标，然后根据向量夹角公式进行计算，注意区别向量夹角与两直线夹角之间的关系.【解析】选A.不妨设=2，则A（2,0,0），B1（0,2,1），B（0,0,

2、1），C1（0,2,0），∴,,所以直线与直线夹角的余弦值是，∴直线与直线夹角的余弦值为.二、解答题2.（2012·江西高考理科·Ｔ19）在三棱柱中，已知，，点在底面ABC的投影是线段BC的中点O.（1）证明在侧棱上存在一点E，使得平面，并求出AE的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【解题指南】（1）连接AO，在平面的“衬托”下，探究点E的位置；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.【解析】(1)证明：连接AO，在中，作于点E，因为，得，因为平面，所以.因为AB＝AC，OB＝OC，得，所以平

3、面，所以，所以平面，又,得（2）如图，分别以OA，OB，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，由得点E的坐标是，由（1）得平面的法向量是，设平面的法向量，由，得，令，得，即，所以，即平面与平面的夹角的余弦值是.3.（2012·山东高考理科·Ｔ18）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【解题指南】本题考查了空间线面垂直的证法及利用向量法解决空间几何问题【解析】（Ⅰ）因为四边形是等腰梯形，∥，，所以,又因为BC=CD，所以，因为∥，所以，在中

4、，所以，又因为，,所以平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量.设向量为平面的法向量，则,即，取，则，则为平面的一个法向量.，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角F-BD-C的余弦值为.4.（2012·浙江高考理科·Ｔ20）（本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=,M，N分别为PB,PD的中点。（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求

5、二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.【解题指南】由线线平行易得线面平行，而第(2)小题中的二面角的平面角可建系借助空间向量求出.【解析】（1）由M，N分别为PB,PD的中点可知，∥,又，,∴MN∥平面ABCD.(2)以AC,BD的中点O为原点，以OB为x轴建立空间直角坐标系则A(0,,0),P(0,,),，，,,设面的法向量为则，令，则，即在中，,可得，可得,，而，设面的法向量为,则，令，则，即二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为.5.（2012·福建高考理科·Ｔ18）(本小题满分13分)如图，

6、在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．(Ⅰ)求证：B1E⊥AD1；(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长．【解题指南】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、划归与转换思想.【解析】(Ⅰ)以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立起空间直角坐标系

7、（如图）.设，则，，，，故，，，.∵∴(Ⅱ)假设在棱上存在一点使得平面.此时又设平面的法向量.∵平面∴得取，使得平面的一个法向量要使平面，只要，有，解得又平面，∴存在点，满足平面，此时.(Ⅲ)连接，由长方体及得∵，∴又由(1)知，且，∴平面∴是平面的一个法向量，此时设与所成的角为，则∵二面角的大小为∴，即解得，即的长为2.6.（2012·广东高考理科·Ｔ18）（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.（1）证

8、明：BD⊥平面PAC；（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.【解题指南】（1）证明线面垂直利用判断定理需证线线垂直，本小题易证：.(2)解决本小题的关键是由（1）知，再结合矩形ABCD，进而确定四边形ABCD是正方形。然后可以利用空间向量法也可以利用传统方法找（或做）出二面角的平面角求解即可.【解析】(1),且.（2）由(1)知，,四边形ABCD为矩形，四边形ABCD为正方形.以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2