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1、3.2.2立体几何中的向量方法(2)-----空间“距离”问题教材分析1.在学习了空间向量基本性质的基础上，来探索如何利用向量方法来求解空间“距离”问题；2.本节课与利用向量方法判断空间位置关系、求解空间中的角等结合为整体，为解决立体几何问题提供了重要方法.教学目标1.知识技能：（1）掌握空间向量的概念和基本性质；（2）运用向量方法依次解决空间中的两点间距离、点到面的距离、异面直线间的距离．2.数学思考：经历运用向量方法解决空间“距离”问题的探究过程，在实验操作、观察猜想、推理论证的过程中发展合情推理和演绎推理能力．3.问题解决：运用向量方法解决空间“距离”
2、问题，发现并解决总结一般规律,发展学生的应用意识、创新意识、反思意识.4.情感态度：（1）感受数学价值，增强创新意识，提升学习数学的兴趣；（2）感受独立思考与合作交流带来的成功感，树立自信心.教学重点运用向量方法解决空间“距离”问题的探究过程.教学难点运用向量方法依次解决空间中点到面的距离和异面直线间的距离.教学方法自学辅导式、启发式、讨论式相结合.8教学环节教学过程设计意图复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直
3、线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。复习本节课要应用到的基础知识和基本解题步骤，为本节课的顺利进行做铺垫．这三部可归纳为：一转化为向量问题，二进行向量计算，三回归到立体图形。探索之旅1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题介绍两点间距离的向量求解方法。利用向量的基本性质，很容易理解，不做过多解释。8探索之旅例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点
4、为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？牛刀小试，由简单问题引入，让学生比较容易地利用刚刚学到的知识和求解方法来解决问题。解：如图1，设（转化为向量问题）依据向量的加法法则，(进行向量运算)所以（回到图形问题）这个晶体的对角线AC1的长是棱长的倍。对于第一道例题，解题过程要相对完善一些，一侧帮助学生更好地理解并掌握用向量方法解决立体几何问题的三个基本步骤，二测让学生体会规范的解题过程如何书写。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？分析:（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对
5、角线的长可以确定棱长吗?分析:在学生通过例题学习用向量方法解例题几何问题的基本步骤的基础上，对例题进行适当变形，增加新的问题，发散学生思维，提高实际应用能力。8∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）分析：面面距离点面距离第三问的目的是起到承上启下的作用，既让学生体会到几何问题中的转化关系，更是为引入“点面距离”做好铺垫。归纳提升2.点到平面的距离如图A空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示d?分析:过P作P
6、O⊥于点O,连结OA.提出问题，启发思考，引导讨论，合作探究，发现规律，动手演练，逐步归纳出结论，并用精炼的语言进行高度概括。8归纳提升实践演练则d=
7、
8、=∵⊥,∴∥.∴cos∠APO=
9、cos
10、.d=
11、
12、
13、cos
14、==.这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.8例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以
15、用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.进行针对性的训练，进一步增强学生对一般规律的认识和理解，同时也加强了学生运用向量方法解立体几何问题的能力。3.异面直线间的距离已知a,b是异面直线，n为a的法向量，CD为a,b的公垂线，A，B分别在直线a,b上，则即l1,l2间的距离可转化为向量CD在n上的射影长.例3.已知:直三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1=4,底面△ABC中,AC=BC=2,∠BCA=90度,E为AB的中点.求CB与AB1的距离.在前两点学习的基础上，引导学生自主学习异面直线间的距离，通过能力较强的学生进行示范，教师进行及时补充，充分发挥
16、学生的主观能动性，并利用针对性例题进一步加强学生的应
