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1、立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝
2、cos〈m1，m2〉
3、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝
4、cos〈m，n〉
5、.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
6、cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．2．点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．( √
7、 )(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.( √ )(6)若二面角α－a－β的两个半平面α、β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )2．已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )A.B.C.D.答案 B解析 ∵m⊥α，n⊥β，∴异面直线m，n所成的角的补角与二面角α－l－β互补．又∵异面直线所成角的范围为(0，]，∴m，n所成的角为.3．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一
8、个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( )A．4B．2C．3D．1答案 B解析 P点到平面OAB的距离为d＝＝＝2，故选B.4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为_________．答案 解析 ∵n·a＝－8－3＋3＝－8，
9、n
10、＝＝3，
11、a
12、＝＝，∴cos〈n，a〉＝＝＝－.又l与α所成角记为θ，即sinθ＝
13、cos〈n，a〉
14、＝.5．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分
15、别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．答案 90°解析 不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，∴⊥，∴二面角α－AB－β的大小为90°.题型一 求异面直线所成的角例1 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2
16、，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )A.B.C.D.思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量、所成的角来求．答案 B解析 建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.思维升华 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π
17、]，所以要注意二者的区别与联系，应有cosθ＝
18、cosα
19、. 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.答案 C解析 如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)，∴cos〈，〉＝＝.题型二 求直线与平面所成的角例2 如图，已知四棱锥P—ABCD的底
20、面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量．(1)证明 以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B
