962.浅谈数形结合思想

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1、浅谈数形结合思想【摘要】本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题，及其应注意的事项。【关键词】数形结合；数形结合思想；以形助数；以数解形中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起

2、到优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。由于这“以数解形”比较简单，所以这里就不多做介绍了。“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。学生通常把“数形结合”就理解为

3、“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。“以形助数”中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。以下我将从“数形结合”在哪些题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这种思想方法。1.数形结合思想的应用1.1在方程、函数问题中的应用　方程f(x)–g(x)=0的解情况，可化为f(x)＝g(x)的解情况，也可看作函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确

4、地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。例１　抛物线与x轴的两个交点为Ａ、Ｂ，点Ｑ(4，8k)在抛物线上且AQ⊥BQ，则＝（　　）　Ａ、－１　Ｂ、１　Ｃ、２　Ｄ、３分析　这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。如图１-１所示：我们不难发现，不论函数图像开口向上还是向下，a，k总是异号的，即再看看各个备选项，不难发现只有Ａ表示的是小于０的。故本题选（Ａ）。例２　方程的实

5、数根个数有（　）Ａ、１　Ｂ、２　Ｃ、３　Ｄ、４分析　直接去解这个方程，对于中学学生来说是不可能的事。判断原方程的根的个数就是判断图像与的交点个数，画出这两个函数图像（图1-２），从图形中我们很明显地知道这两个图像只有两个交点，故本题选（Ｂ）。例３　若关于x的方程的两根都在１与３之间，求k的取值范围？分析　令，如图1-3所示，其图像与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，要使两根都在１，３之间，只需f(1)>0，f(3)>0，，1<-k<3同时成立，解得，故k∈(-３，－１)。一般地，只要已知一元二次方程的两个根的所在范围，就可以用数形结合的方法来比较容易地解决。一元二次方程的两根（）分

6、布情况大致有以下这几种：一是两根在一个开区间内，则要满足这个区间两端点的函数值都与其顶点坐标的纵坐标异号就行；二是两根在某个数的两侧，则要满足函数在这个数的函数值与a的乘积小于０就行；三是两根分别在某个区间内，则要满足每个区间两端点的函数值异号就行；四是两根在某个数的一侧，则、要满足其对称轴在这个数的所要的一侧，这个数的函数值与其顶点坐标的纵坐标异号就行；五是两根在某个区间之外即两侧，则、要满足这个区间两端点的函数值与a的乘积都小于０就行。当然了，这里只考虑到开区间，要是遇到闭区间或半开半闭区间时，区间的端点要另外再讨论。1.2在最值问题中的应用　最值问题，一般就是求某个代数式或函数的最大

7、值或最小值了，当然有些题目是可以借助于重要不等式等知识直接解决的，但有些题目用这些方法都比较复杂，而且计算量很大。这时我们就要换一种方法来考虑问题了，不要思维定势。我们可以考虑一下这些代数式的几何意义了，再结合代数式中所隐含的几何图形，应用几何知识来求其最大值或最小值。代数式的几何意义有很多，在这我主要地介绍以下几种：一是表示直线斜率的——转化为求直线斜率的问题；二是表示两点间的距离——转化为求两点距离的问题；三是表示直