浅谈数形结合思想.docx

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1、浅谈数形结合思想 【摘要】本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题，及其应注意的事项。【关键词】数形结合；数形结合思想；以形助数；以数解形 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数

2、解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。由于这“以

3、数解形”比较简单，所以这里就不多做介绍了。“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。学生通常把“数形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。“以形助数”中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。以下我将从“数形结合”在哪些题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方

4、面来具体介绍数形结合这种思想方法。1.数形结合思想的应用1.1在方程、函数问题中的应用　方程f(x)–g(x)=0的解情况，可化为f(x)＝g(x)的解情况，也可看作函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。例１　抛物线与

5、x轴的两个交点为Ａ、Ｂ，点Ｑ(4，8k)在抛物线上且AQ⊥BQ，则＝（　　）　Ａ、－１　Ｂ、１　Ｃ、２　Ｄ、３分析　这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。如图１-１所示：我们不难发现，不论函数图像开口向上还是向下，a，k总是异号的，即再看看各个备选项，不难发现只有Ａ表示的是小于０的。故本题选（Ａ）。例２　方程的实数根个数有（　）Ａ、１　Ｂ、２　Ｃ、３　Ｄ、４分析　直接去解这个方程，对于中学学生来说是不可能的事。判断原方程的根的个数就是判断图像         与的交点个数，画出这两个函数图像（图1-２），从图形

6、中我们很明显地知道这两个图像只有两个交点，故本题选（Ｂ）。例３　若关于x的方程的两根都在１与３之间，求k的取值范围？分析　令，如图1-3所示，其图像与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，要使两根都在１，３之间，只需f(1)>0，f(3)>0，，1<-k<3同时成立，解得，故k∈(-３，－１)。一般地，只要已知一元二次方程的两个根的所在范围，就可以用数形结合的方法来比较容易地解决。一元二次方程的两根（）分布情况大致有以下这几种：一是两根在一个开区间内，则要满足这个区间两端点的函数值都与其顶点坐标的纵坐标异号就

7、行；二是两根在某个数的两侧，则要满足函数在这个数的函数值与a的乘积小于０就行；三是两根分别在某个区间内，则要满足每个区间两端点的函数值异号就行；四是两根在某个数的一侧，则、要满足其对称轴在这个数的所要的一侧，这个数的函数值与其顶点坐标的纵坐标异号就行；五是两根在某个区间之外即两侧，则、要满足这个区间两端点的函数值与a的乘积都小于０就行。当然了，这里只考虑到开区间，要是遇到闭区间或半开半闭区间时，区间的端点要另外再讨论。1.  2在最值问题中的应用　最值问题，一般就是求某个代数式或函数的最大值或最小值了，当然有些题

8、目是可以借助于重要不等式等知识直接解决的，但有些题目用这些方法都比较复杂，而且计算量很大。这时我们就要换一种方法来考虑问题了，不要思维定势。我们可以考虑一下这些代数式的几何意义了，再结合代数式中所隐含的几何图形，应用几何知识来求其最大值或最小值。代数式的几何意义有很多，在这我主要地介绍以下几种：一是表示直线斜率的——转化为求直线斜率的问题；二是表示两点间的距离——转化为求