高三数学总复习教程(第36讲)

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1、无锡教育http://www.wxjy.com.cn高三数学总复习教程（第36讲）主讲：金立建江苏省特级教师、江苏省首批名教师、金陵中学一、本讲内容怎样解应用题（上）二、复习要求1.掌握解应用题的方法和一般步骤．2.增强应用意识，提高运用数学知识分析问题，解决问题的能力．3.在提高阅读理解能力的基础上，提高语言的表达能力以及将数学普通语言、符号语言、图形语言互相转化的能力．4.提高数学化能力，能通过对现实问题的抽象和概括，将实际问题转化为数学问题或建立数学模型．三、主要内容及典型题例从1993年起，高考数学试题强调了数学的应用意识，

2、并连续两年在选择题、填空题中出现了应用题．自1995年起，每年在解答题中均安排了一个应用题大题，选材贴近生活，有很强的实际意义，而且解决这些实际问题所用的知识又都是中学数学的重点内容，高考数学试题的命题方向对引导学生用学过的数学知识解决生产和生活中的实际问题，增强应用意识，起到了很好的导向作用．数学来源于实践，又在应用于实践的过程中得到发展和完善，运用数学知识解决实际问题，既是数学的起源，又是数学的归宿，也是学习数学的目的所在．近年来高考数学坚持考查应用题的方向，坚持考查应用意识及突出数学在解决实际问题中的应用．现实中的应用问题千姿

3、百态、千变万化，要体现数学的应用价值，使数学服务于生产、生活实际，首先应学会从实际问题中抽象出数学问题．建立适当的数学模型，然后运用所学过的数学知识解决之．因此，解数学应用题，需过好三关：文理关、事理关以及数理关．不少同学因对普通文字语言的阅读理解能力低而过不了“文理关”；长期闭门读书，不接触（或接触甚少）社会和生活实际又使一部分学生不明事理而难过“事理关”；缺乏对普通语言、数学符号语言和图形语言进行互相转换的能力以及运算能力弱，使不少考生无法建立数学模型而过不了“数理关”．三关挡道是近几年数学应用题得分低下的重要原因．要提高解应用

4、题的水平，首先要提高自己的阅读理解能力，并注意弄清一些诸如至少、至多；不少于、不大于；增长到、增长了；都不是、不都是等关键词语的确切含意．因为正确理解题意是解应用题必须迈好的第一步．其次，解应用题必须将普通语言翻译成（内隐或外显的）数学语言．这就必须切实提高普通语言、数学符号语言以及图形语言的表述和互相转化的能力．需知数学语言是数学思维的载体，是解决问题的工具，要提高数学思维能力，离开娴熟的数学语言是不可思议的．只有提高语言的运用和转化能力，才能将具体实际问题准确的转化为数学问题或已知的数学模型．第三，要注意对运算程序的调控，使运算

5、程序做到合理、简捷．合理的运算程序能缩短思维的长度，因而它是运算达到准确、简捷的前提和保证．运算应达到要求是“熟练、准确、合理、简捷”．此外关心国际、国内大事，接触社会、生活实际，关注社会、生活的热点问题，有助于对“事理”的理解和把握．总之，“通”文理、“明”事理、“精”数理，增强应用意识和提高数学化能力，是提高解数学应用题能力的根本出路．下面我们就一些典型问题进行归纳和剖析．(一)增长率问题例１从1981年到本世纪末的20年，我国力争使全国的工农业总产值翻两番，即由1980年的7100亿元增长到2000年的28000亿元左右．(1

6、)如果每年增长率相同，问每年至少要增长百分之几？(2)如果每年增长8%，几年可达到翻两番的目标？解(1)设平均每年增长的百分数为x，则有802/03年第一学期同步辅导教材版权所有不得转录无锡教育http://www.wxjy.com.cn7100(1＋x)20≥28000，即(1＋x)20≥．两边取对数，得20lg(1＋x)≥lg280－lg71，∴x≥0.071＝7.1%．(2)设x年达到翻两番，则得7100(1＋8%)x＝28000，x＝＝18.3．故19年可达到翻两番的目标．评析增长率问题是常见的实际问题之一，解这类问题要弄清

7、“增长到”与“增长了”；“第一年”与“一年后”的区别．此外，本题中的“翻两番”是个专用名词，是指1×2×2＝4倍的意思．解增长率问题常需用对数进行计算，通常在试卷中会给出一些数据供选用．例２某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n年与第n－1年（n≥2，n∈N）的产量之间的关系式；(2)由于存在池塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终逐年提高的？若

8、是，请给予证明，若不是，请说明从第几年起，产量将不如上一年．解第一年增长2，第二年是2×＝……第n年增长率为2×()n－1＝22－n.(1)设第n年的年产量为an，则a1＝a(1＋2)＝3a，a2＝a1(1＋2×)＝6a，a3＝[1＋