高三数学总复习教程第4讲 集合的概念和运算

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1、高三数学总复习教程第4讲集合的概念和运算一、本讲进度集合的概念、集合间关系、集合的运算二、习指导集合的三特性——元素的确定性，无序性、互异性揭示了集合的本质，它是我们解一些集合问题的钥匙，理解集合，子集、补集、交集、并集、空集、全集的意义，对属于包含、相等关系的定义要掌握相关术语和符号会改、会写，对集合的文字表达，符号表达及图示（韦恩图）要能转换自如。三、型例题讲评例1．已知集合A=，B=，A=B，求x，y的值。本题考查集合相等的概念及集合的特性。如一般地考虑分成x－y=0，x+y=0和xy=0三种情况，费时费力，比较合理的思路是：10.根中元

2、素的互异性，B中x2－y2≠0，故A中x－y，x+y均不为0，从而xy=0；20.再根据元素的互异性：x+y≠x－y，知y≠0而x=030.于是有y=y2和－y=y2两种方案，据y≠0知y=±1.例2．已知集使A=，B=，A∩B=φ，求实数a的取值范围.先易后难，先明后暗，这是解题的策略，故先写出集合B=[2，4].方程y2－(a2+a+1)y+a(a2+1)=0的两根为a，a2+1，而a2+1≥2≥≥a，且等号不能都成立，故A=（－∞，a）∪（a2+1，+∞），A∩B=φa∈（－∞，－）∪[，2]本题中，最易出错的地方是把写为，做题时必须把边

3、界处仔细推敲。例3．已知函数y=3x+1的定义域为A=，值域为B=求a+b+c+d.本题涉及到的知识为集合的特性，映射及道映射.分别令3x+1=4，7，知1，2∈A.又3的象为10.若a3+3a=10，知a=2或－5，相应地，a3+5a2+2a+20=52或10，故a=－5时，a2+3a与a3+5a2+2a+20相同，舍去，若a3+5a2+2a+20=10，即(a+5)(a2+2)=0，a=－5，相应地，a2+3a=10，亦应舍去.∴a=2，令52=3x+1，x=17知17∈A.∴a+b+c+d=2+17+1+2=22.本题中并没有确定（也无法

4、确定）b、c、d分别是什么，而是从总体考虑“它们是什么”，这可能是读者不习惯的所在.例4．已知函数f(x)=x+1，g(x)=x2，A=[－1，a]（a＞－1），求使集合A=与集合B=相等的实数a的值.本题涉及一次函数的值域（指定定义域）和二次函数的值域（指定定义域）两个知识点及分类讨论的数学思想。一次函数f(x)=x+1，x∈[－1，a]是单调递增函数，∴A=[0，a+1]，而B集合是指定了定义域的二次函数，不一定是单调的决不能简单地“代两头”而说它的值域是[1－a2]（按这样的错误想法，A、B是决然不会相等的），故该讨论：10.若a∈（－1

5、，0），则g(x)单调递减，B=[a2，1]不可能与集合A相等。20.若a∈[0，1]，则B=[0，1]，要与A相等，须a+1=0，∴a=0，30.若a∈（1，+∞），则B=[0，a2]，要与A相等，须a+1=a2，a=但＜1，舍去.∴a=0或例5．已知集合A=，集合B=，A=B是否可能成立？如可能成立，求出使A=B的a的取值范围，如不可能成立，说明理由.本题两集合是用描述法表示的，在“元素的形式”这一部分分别用了x、y，不能据此认为“元素的形式不同，故不可能相等”因它们只不过用以表达的字（代号）不同，实质是一样的，即元素的形式是“数”。它所能

6、否相等，只要看它们所表示的数集是否相同。当a＞0时，A=[0，a]，B=[0，]，要A=B，须a=，a=2.当a＜0时，A=[a，0]，B=[－，0]，要A=B，须a=－，a=－2.当a=0时，A=，B=，满足A=B根据上面的讨论知，A与B两集合有可能相等，只需a∈即可.例6．定义域为的奇函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，而f(1)=0，设函数g(x)=sin2x+kcosx－2k（x∈[0，]）集合M=N=，求M∩N.本题如先分别求出M、N，再求它们的交集，费时费工，因为其中有一部分是重复劳动。∵f[g(x)]是复合函数，我们应先由f[g

7、(x)]＜0，求出相应g(x)应满足的条件，再进一步求M∩N中g(x)满足的条件，这样做事半功倍。先据f(x)是奇函数f(1)=0，（0，+∞）上增，证明f(－1)=0，f(0)在（－∞，0）上也增，从而说明f[g(x)]＜0的充要条件是f(x)∈（―∞，―1）∪（0，1）.又N中要求g(x)＜0，∴M∩N要求g(x)＜－1，即k＞==4－[（2－cosθ）+]，右边当cosθ=2－时有最大值4－2，∴k＞4－2.M∩N=(4－2，+∞).当然，更多的同学是下面的思路：由g(x)＜－1知cos2x－kcosx+2k－2＞0，记u=cosx∈[0

8、，1]，则即u2－ku+2k－2＞0.10.当∈[0，1]，即k∈[0，2]时，f(u)=u2－ku+2k－2的最小值为2k－2－须＞0，k∈（4－2