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1、个人收集整理勿做商业用途第4讲集合的概念与运算本讲内容包括集合及其性质(集合的元素满足确定性、互异性、无序性）;元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集）；集合的运算(交、并、补)及容斥原理等.“交、并、补”是集合的三种运算.它们的含义可以用“且、或、非”来理解.这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助.集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若,则；若,则;;；［I[I[I；[I［I[I。容斥原理在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个
2、数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容"意指这些子集的并集是原集合，“斥"意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。通常以表示有限集合中元素的个数，参照Venn图可以得到如下计数公式：A类例题个人收集整理勿做商业用途例1已知数集,.若，求实数的值.分析两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合中三个元素有且仅有一个为1.椐此可求出,进而求出。解由，得。由集合中三个元素有且仅有一个为1，得，。由，得。因此，所求实数为或。例2集合的关
3、系是（）（1989年全国高中联赛）分析1通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断.解1，而可取任意整数，得集合表示4的倍数的集合，即。，设,得.所以，,应选。分析2本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若，则”;证明集合相等关系的一般方法是“若则”。个人收集整理勿做商业用途解2若.设，则。若.设,则.由。所以应选。例3已知,.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围。分析首先应对题中的集合语言进行解读。,意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组的解集.（1）是求实数的值，使
4、上述方程组有3解；（2）是求实数的取值范围，使上述方程组无解。解由（*）。当时,，原方程组无解；当时，，原方程组有两解;当时,,方程（*）有两个不等的实根。由，得方程（*）两根中，一根为正数另一根为0时,原方程组有3解；方程（*）两根均为负根时，原方程组无解。由，经验算，时，原方程组有3解；个人收集整理勿做商业用途由,即时，原方程组无解。所以，若，实数;若，实数的取值范围是或。情景再现1．已知数集，求实数的值。（1999年第十届“希望杯”高一)2．若是单元素集合,则实数的值为（)不存在这样的实数（1990年江苏省数学竞赛)3．数集与
5、数集之间的关系是（)(1984年全国高考题）B类例题例4设集合满足:,。若为已知集合，求集合。分析在研究集合之间的运算时，应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。解1由设或因为，得个人收集整理勿做商业用途,即。由，得。又所以，。解2由，所以，。例5已知集合,，若，求实数的取值范围。分析由题意，两个一元二次方程和中，至少有一个方程有实数解.采用直接方法是求两个方程有解集合的并集；或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。解1由二次方程，得;由二次方程,得；由，得所求实数的取值范围是个人收集整理勿做商业用途解2由解1，得.由，得
6、所求实数的取值范围是[R例6不大于1000的自然数中，既不是3的倍数,也不是5的倍数共有多少个?分析若不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为。则要求的是
7、[I｜.解设不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为，则.因此,。所以,不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有｜[I
8、（个).情景再现4．已知，，且，(1）若,求实数的值；（2）若,求实数的取值范围。5．若非空集合，则能使成立的所有的集合是（)个人收集整理勿做商业用途(1998年全国高中数学联赛
9、）6．某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计：数学有21人优秀,物理有19人优秀,化学有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有6个,数学和化学都优秀的有8个.若该班有7人数学、物理、化学三科中没有一科优秀,试确定该班总人数的范围及仅数学一科优秀的人数的范围.C类例题例7设，，，，是平面内的点集,讨论是否存在使得（1）；（2）同时成立.（1986年全国高考题）分析首先应对题中的集合语言进行解读.，意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组有整数解;,则给出了的允许值范围。解集合可分别化简为，。，仅当且时，个
10、人收集整理勿做商业用途，方程组有解。此时，原方程组的解为由于，原方程组的解不是整数解，所以满足条件的实数不存在。例8一次会议有2005位数学家参加，每人至少有1337位合作者，求证:可以找到4位数学家，他们中每两人都合作过。分析按题意
