高代习题：正交矩阵与逆序数的相关知识

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1、设O（n,Z）为整系数正交矩阵所成之集合，O*（n,Z）（O-（n,Z））是其行列式为1（-1）的正交矩阵所成之子集合。（1）确定O（n,Z）中元素个数（2）证明O*（n,Z）与O-（n,Z）中元素个数相等。首先证明任意矩阵A属于O（n,Z）其中A是每行每列只有一个非零的整系数，且非1即-1.设，因为A为正交矩阵，所以有A’A=E.令其中研究矩阵B第一行因为是整系数，所以中只能有一个等于±1，其余均为零。然后发现第二个等式之后，只要含有等于±1的项，与之相乘的项也必须为零。以上结论反映在矩阵A中即：矩阵A中每行每列只有一个非零的整系数，且非1即-1.设其中i=1,2,…,n;而ki

2、是互不相等且是12…n中的一个排列。其中是123…n的一个排列。而123…n的全部排列奇偶各半为个。其中排列为奇排列时=-1，排列为偶排列时时=1。而其中r是矩阵A中-1元素的个数。当奇偶排列已经确定时，考虑矩阵A每行中非零元素非1即-1情况的种数。由排列组合的思想可以求得r为奇数的情况和r为偶数的情况各半为。（1）所以O（n,Z）中元素个数为。（2）而O*（n,Z）与O-（n,Z）中元素个数相等各为。