矩阵的运算与逆矩阵

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1、教学目的掌握矩阵的加减、数乘、乘法和幂等基本运算。理解并熟悉矩阵的转置、对称、共扼等概念，理解伴随矩阵理解方阵运算，会用方阵运算方法进行相关运算。掌握逆矩阵的概念性质及伴随矩阵求法作业要求重点矩阵的基本运算练习册P9-13,习题1-10;其中交：P9-10,习题：1－4难点矩阵的乘法、幂及方阵的运算性质讲授方法讲练结合讲授内容主线概念－同型加减－数乘全－乘法行列算、一般不交换－方阵可算幂－行列式宜单算－转置行列换－引来对称与伴随，伴随有转置。逆矩阵的概念与性质内容概括乘法是行列式对应元素乘积和，交换化零与消去均不

2、可，方阵可算幂与行列式，行列式注意数乘与积的乘法，变换导出的逆阵具有唯一、非奇异与单侧性及数乘转置的运算律。班级：时间：年月日；星期第四讲矩阵的运算与逆矩阵1第四讲矩阵的运算与逆矩阵本次课讲：1.教材第二章第二节：矩阵的基本运算和关系运算2.教材第二章第三节：逆矩阵的概念与性质3.下次上课时交作业：P9－P12下次课讲：1.教材第二章第三节（续）：逆矩阵的运算与证明2.教材第二章第四节：矩阵的分块法3.教材第三章第一节：初等变换的基本概念2第四讲矩阵的运算与逆矩阵学完本次课达到如下要求1.会用符号语言表述加减数乘

3、幂、转置对称伴随等运算。2.加减数乘幂运算掌握运算律，即了解什么是不可以的，如乘法不交换不消去不化零。3.转置、对称、行列式和伴随运算要熟记关系运算公式，请记住伴随行列式没有加法公式，伴随运算也没有乘法运算。33.矩阵与矩阵相乘（重点是乘的过程与表达式）设有两个线性变换:求出从到的线性变换.一、矩阵的四则运算（1）乘法的历史第四讲矩阵的运算与逆矩阵42×22×33×2（2）乘法的定义与运算规律定义4其中并把此乘积记作：设是一个m×s矩阵,是一个s×n矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵矩阵形式如下：

4、第四讲矩阵的运算与逆矩阵5第四讲矩阵的运算与逆矩阵6如:是一个数.注意：只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘(与顺序有关).（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：第四讲矩阵的运算与逆矩阵7例1求矩阵与的乘积AB.1）乘法一般不满足交换律:解但无法相乘.2×3再如：若A是m×n矩阵，而B是n×m矩阵，则AB与BA都有意义但AB≠BA.若阶方阵A,B满足AB

5、=BA称A与B可交换第四讲矩阵的运算与逆矩阵82）实数运算存在化0因子，即若ab=0,则a,b至少有一个数是0。但矩阵运算不存在化0因子，即若AB=0,A与B可能都不为0，如下例3）实数满足消去律，但矩阵乘法消去律不再成立。就是说，若矩阵A、B、C满足AB=AC，并且A不为0，则不能推出B＝C，例如例2求矩阵与的乘积AB与BA.解4)可相乘的单位矩阵与任意矩阵可交换或简写成EA=AE=A.第四讲矩阵的运算与逆矩阵96）用矩阵的乘法表示线性变换和线性方程组系数矩阵由矩阵乘法知：设给定一个线性变换5)矩阵的乘法虽然一

6、般不能满足交换律，但结合律却总是成立的，因此，涉及多矩阵连乘时，在不改变左右顺序及相邻矩阵可相乘的前提下可任意添加或删去括号。(i)(ii)(iii)（其中λ为数）；第四讲矩阵的运算与逆矩阵10（方）矩阵的幂设A是n阶方阵，定义注：1.只有方阵，它的幂才有意义。2.3.对于两个n阶矩阵，一般如4.第四讲矩阵的运算与逆矩阵11例3：第四讲矩阵的运算与逆矩阵二、矩阵的关系运算12定义51.矩阵的转置叫做矩阵A的转置矩阵，记作.把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，若则矩阵的转置也是一种运算，它满足下述运算规律(i

7、)(ii)(iii)(iv)（A为方阵）第四讲矩阵的运算与逆矩阵13证明(iv)设所以第四讲矩阵的运算与逆矩阵14例4：已知求解注：行矩阵的转置矩阵是列矩阵，列矩阵的转置矩阵是行矩阵。第四讲矩阵的运算与逆矩阵15第四讲矩阵的运算与逆矩阵例5（2000.2）16那么A称为对称矩阵.设A为n阶方阵，若满足即用转置定义对称矩阵例6：设A为对称矩阵,为多项式，试证仍为对称矩阵。证明：设2.对称矩阵第四讲矩阵的运算与逆矩阵173.方阵的行列式定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）,称为方阵A的行列式，记

8、作注：n阶方阵是一个数表，n阶行列式是一个数.或由A确定的这个运算满足下述运算规律（设A,B为n阶方阵，λ为实数）：(i)(ii)(iii)第四讲矩阵的运算与逆矩阵18设矩阵A为A的伴随矩阵.试证证设记则注意A*的排列顺序4.伴随矩阵性质：第四讲矩阵的运算与逆矩阵19故OO类似有例8：设解：5.共轭矩阵（自己看书，知道定义就可以了。略）第四讲矩阵的运算与逆矩阵20三、逆矩