矩阵的运算逆矩阵（第五次）.ppt

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1、例4．设A=，4-2-21B=，求AB及BA.42-6-3AB=解：-32-16168，BA=0000B=，求AB及BA.A=，例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA;注3：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O.注意：左乘右乘的不同1110例5．设A=，B=，求AB及BA.2110解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=显然AB=BA.定义：如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则

2、称矩阵A与矩阵B可交换.显然AC=BC，但AB.例6．设注4：矩阵乘法不满足消去律.例8.100000001设A=则AA=100000001100000001100000001==A.显然AA=A，但AE，AO.例7．对于任意矩阵A及相应的矩阵O，E，有AO=O，OA=O；AE=A，EA=A，EE=E.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………………as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1b2…bsa11a12…a1na21a22…a2n…………as1as2…asnA=Ax=

3、bx=x1x2…xn例9.线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）应注意的问题(1)ABBA；(3)AB=OA=O或B=O；/(2)AC=BCA=B；/矩阵乘法的性质(4)AA=AA=E或A=O./(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).4.方阵的幂对于方阵A及自然数kAk=AAA(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.方阵的幂有下列性质：(1)ArAs=Ar+s；(2)(Ar)s=Ars.问题：(A+B)2=?②(AB)2=A2ABBA+B

4、2注:①(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2③(A+B)(AB)=A2AB+BAB2定义4将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amn…………A=，a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn…………AT=则.例如，设x=(x1x2xn)T，y=(y1y2yn)T，则(y1y2yn)xyTx1x2xn==x1y1x2y1…xny1x1y2x2y2…xny2x1ynx2yn…x

5、nyn………….5.转置矩阵及对称方阵显然，ET＝E.转置矩阵有下列性质(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amn…………A=，a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn…………AT=则.定义4将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果(4)(AB)T=BTAT.5.转置矩阵及对称方阵定义5设A为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT=-A，则称A为反对称矩阵.分别是三阶对称

6、矩阵和三阶反对称矩阵.显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji;A为反对称矩阵的充分必要条件是aij=-aji.如：定义6设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为

7、A

8、或detA.性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则(1)

9、A

10、=

11、AT

12、;(3)

13、AB

14、=

15、A

16、

17、B

18、.(2)

19、kA

20、=kn

21、A

22、;6.方阵的行列式显然，

23、E

24、=1.一般地，若A1,A2,…Ak都是n阶方阵，则显然A——方阵f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0Ef(x)——多项式

25、注意!!!定义7.方阵A的多项式6.方阵的行列式例10．设求解:因为由公式则若先求得同样例11．设A，B均为四阶方阵，且.计算.解由方阵的行列式的运算规律，2．设A,B都是2阶方阵，且｜A｜=2，B=-3E，则

26、ATB

27、=().1．设A是3阶方阵，且｜A｜=－2，则｜A2｜=()

28、2A

29、=(),

30、－A

31、=().4-16218练习解方程组解：将其写成矩阵方程两边都左乘矩阵F得从而得方程组的解:那么,F矩阵是怎么得到的呢？2.3逆矩阵逆矩阵概念的引入定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩

32、阵.1.可逆矩阵的定义这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，AB1=B1A=E于是B=B1.=EB1=(BA)B1=