高代课程设计：逆矩阵的判别与求法

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1、高等代数课程设计报告设计题目：逆矩阵的判别与求法院系：理学院班级：应数实验人：王石学号：101指导教师：骨健康目录摘要…………………………………………………………………………1问题提出……………………………………………………………………2问题解答……………………………………………………………………3论文小结……………………………………………………………………6参考文献……………………………………………………………………7附录…………………………………………………………………………8摘要矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的

2、一个主要研究对象.其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一.本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结，另外参考相关资料列出公式.关键词：高等代数矩阵可逆1问题提出在高等代数的学习中，我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算，矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本文所要讨论的问题.本文所讨论的矩阵，如不特殊说明，都是n×n矩阵.我们知道，对于任意的n级方针A都有AE=EA=A，这里E是n级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，n级单位矩阵在n级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个

3、复数A≠0的倒数a-1可以用等式aa-1=1来刻画.相仿的，我们引入：n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，（1）这里E是n级单位矩阵.首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足（1）.其次，对于任意的矩阵A，适合等式(1)的矩阵B是唯一的（如果有的话）.事实上，假设B1，B2是两个适合（1）的矩阵，就有B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2.如果矩阵B适合（1），那么B称为A的逆矩阵，记为A-1.下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A-1.2问题解答方法一：设Aij是矩阵

4、a11a12…a1nA=a21a22…a2n……an1an2…ann中元素aij的代数余子式，矩阵A11A12…A1nA=A21A22…A2n……An1An2…Ann称为A的伴随矩阵.由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：d0…0AA*=A*A=0d…0=dE，……00…d其中d=∣A∣.如果d=∣A∣≠0，那么由（2）得3A=A*=A=E.矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而A-1=A*（d=∣A∣≠0）.（4）公式（4）不仅给出了—矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式.方法二：可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵.设A是一n级

5、可逆矩阵.有一系列初等矩阵P1，…，Pm使Pm…P1（AE）=(Pm…P1APm…P1E)=（EA-1）.(6)(6)式提出了一个具体求逆矩阵的方法.作n×2n的矩阵（AE），用初等行变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是A-1.方法三：用待定系数法.令Z-1=Z11Z12Z21Z224由AX=E可得X-1.方法四：利用分块阵的初等变换.例T=AOCD,A,D可逆，求T-1.由EmOAO=AO-CA-1EnCDOD及AO-1=A-1OODOD-1易知T-1=A-1OEmO=A-1OOD-1-CA-1En-D-1CA-1D-15论文小结本文中给出

6、了判定可逆矩阵的方法.上述中的判定定理求逆矩阵，另外，逆矩阵的求法还有特征多项式法，待定系数法，分块矩阵求逆，分解矩阵求逆，递推法等.限于知识水平，对于可逆矩阵的相关知识文中列出的有限.除线性方程组以外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，而逆矩阵与矩阵关系密切，因而也就使逆矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.6参考文献北京大学数学系几何与代数教研室前

7、代数小组编，《高等代数》（第三版），高等教育出版社.7附录矩阵的定义设有n个关于x1，x2,…,xn的n元线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a12x1+a22x2+…+a2nxn=b2(1)……a1n1x1+an2x2+…+annxn=bn把式(1)中关于x1，x2,…,xn的m×n个系数按着原来的位置排列成m行n列的矩形阵列!并用符号表示为：a11a12…a1nA=a21a22…a2n……an1an2…ann定义由m×n个元素排列成的m行n列的矩形阵列称为m×n型矩阵或m×n矩阵，常用粗体大写字母表示矩阵.如A,L,T,U…等.也

8、可以用[aij]m×n表示m行n列矩阵.称aij为矩阵A的元素.它有两个下标,第一个下标表示行