16.4排列组合综合应用

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1、16．4排列组合综合应用一、教学内容分析：教师：陶雅莉本节内容是学生学习了：计数原理——加法原理与乘法原理，排列与排列数；组合与组合数之后的内容，学生对排列组合知识已经有了初步的认识，同时也掌握了简单的排列组合问题.因此本节内容的安排旨在：对先前所学内容的进一步加深与整合，使学生在掌握了简单排列组合问题的基础上也能处理一些复杂的排列组合问题.本节内容的教授是对这部分内容的总结与提升.本节内容分两节课讲授.二、教学目标设计1.掌握排列组合问题的基本类型，体会解决排列组合综合题的方法与步骤；2.体会在解决排列组合问题的过程中，对问题的观察、分析、类比、归纳的研究

2、方法；3.通过对排列组合实际问题的解决，提高学习数学的兴趣.三、教学重点及难点重点：（1）特殊元素优先安排策略（2）合理分类与分步策略（3）排列组合问题先选后排策略（4）相邻问题捆绑处理的策略（5）不相邻问题插空处理的策略难点：综合运用解题策略解决问题四、教学过程设计(一)、复习引入：1.分类计数原理（加法原理）完成一件事，有几类办法，在第一类中有种有不同的方法，在第2类中有种不同的方法……在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…

3、…，做第n个步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法.3.排列：从n不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4.组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(二)、讲授新课：例1：六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端（2）甲、乙必须相邻（3）甲、乙不相邻（4）甲、乙之间间隔两人（5）甲、乙站在两端（6）甲不站左端，乙不站右端解：（1）方法1要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个

4、位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A14·A55=480（种）.（2先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，共有站法为A44·A25=480种（4）先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A22种

5、，故共有A44·（3A22）=144（种）站法（5）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44=48（种）站法（6）甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66-2A55+A44=504（种）站法.例2,男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动

6、员.解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法.（2）“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C510-C56=246种.（3）间接法：从10人中任选5人有C510种选法.其中不选队长的方法有C58种.所以“至少1名队长”的选法为C510-C58=196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C48种.其中不含女运

7、动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48-C45种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C49+C48-C45=191种.例3,4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？,解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理共有C

8、14C24C13×A22=144种.（2）“恰有1个