排列组合综合应用问题

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1、排列组合综合应用题回顾引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。和应用问题。问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。解排列组合问题，一定要做到“不重”、

2、“不漏”。排列组合、不重不漏注意问题：解题方法：互斥分类----------分类法先后有序----------位置法反面明了----------排除法相邻排列----------捆绑法分离排列----------插空法2一.排列组合综合问题例1：有12人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。①分为两组，一组7人，一组5人；②分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；③分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；④分为甲、乙两组，每组6人；⑤分为两组，每组6人；要求：审清题意、仔细分析、周密考虑、防止重漏。①②分析：把12

3、人分成两组，一组7人，一组5人与把12人分成甲、乙两组，甲组7人，乙组5人，实质上是一样的，都必须分成两步：第一步从12人中选出7人组成一组（或甲组）有C127种方法；第二步，剩余的5人组成一组（或乙组）有C55种方法。所以总的分配种数为C127.C55种。所以①、②分配种数都为C127.C55分配问题③思考：把12人分为甲、乙两组，一组7人，一组5人,与①②比较,有何相同和不同地方?相同地方都是分成两组,一组7人,一组5人,有C127.C55种；所不同的③是一组7人，一组5人，并没有指明甲乙谁是7人，谁是

4、5人，要考虑甲乙的顺序，所以要再乘以P22，所以③总的种数为C127.C55.A22。点评：上述问题是非平均分配问题，①没有指出组名②给出了组名，而且指明了谁是几个人。这在非平均分配中是一样的。而③虽然给出了组名，却没有指明谁是几个人，所以这时有顺序问题。注意：求给出了组名，却没有指明哪组多少人的种数，可以先算未给出组名（或给出组名并指明哪组多少人）的种数，然后乘以组数的阶乘。③分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；④分析：把12个人分为甲、乙两组，每组6人，可分成两步，第一步，从12人中抽出6人给甲组，有C

5、126种，余下的6人给乙组有C66种，所以共有C126.C66种.⑤由于没有组名，与④比较，显然④分成甲、乙两组是有顺序的，如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的，而⑤作为分成两组却是一样的。有顺序的多，无顺序的少，象非平均分配一样，有组名的种数应该是无组名的种数的关于组数的阶乘倍。所以在④的基础上除以组数的阶乘，即12个人分为两组，每组6人的种数为C126.C66/A22种。点评：上述④⑤属于平均分配问题，求没有给出组名的种数，可以先求给出组名的种数，再除以组数的阶乘！④分为甲、乙两组，每

6、组6人；⑤分为两组，每组6人；①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；④分为甲、乙、丙三组，每组4人；⑤分为三组，每组4人。练习1：有12人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。答案①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33小

7、结：例1与练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上乘以组数的全排列数。2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是平均分配。这样分配问题就解决了。结论：给出组名(非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶

8、乘。例2：求不同的排法种数。①6男2女排成一排，2女相邻；②6男2女排成一排，2女不能相邻；③4男4女排成一排，同性者相邻；④4男4女排成一排，同性者不能相邻。分析：①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列，有A77.A22种“捆绑法”②把6男2女8人全排列，扣去2女“相邻”就是2女“不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”②还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2