常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题15 空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法

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1、第15讲：空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法【考纲要求】1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、了解向量方法在研究几何问题中的应用.[来源:学*科*网]【基础知识】一、四种距离的定义及常见求法常见求法①几何法：先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②向量法：如下图所示，a、b是两异面直线，是a和b的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a与b之间的距离是；平行平面之间的距离，其中是平面的法向量二、上面四种距离都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离.。三、上面四种距离是可以相互转化

2、的，最终都可以转化成点点距来求解。四、在上面四种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法。【方法讲评】异面直线间的距离方法一几何法使用情景异面直线的公垂线段存在或比较容易作出。解题步骤证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段求出ＡＢ的长即可．方法二向量法使用情景异面直线的公垂线段不存在或不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系求a和b的法向量(a、b是两异面直线)求向量(点E∈a，F∈b，)代入异面直线a与b之间的距离公式例1．如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则ABCDOS图2，，

3、[来源:Zxxk.Com]，，。，。令向量，且，则，，，，。ＭＯＡＢＣＤＦＥ例2如图，已知正方体ＡＢＣＤ－棱长为，求异面直线ＢＤ与Ｃ的距离．解法一：连结ＡＣ交ＢＤ的中点Ｏ，取的中点Ｍ，连结ＢＭ交于Ｅ，连，则，过Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，则。又斜线的射影为ＡＣ，ＢＤＡＣ，。同理，为ＢＤ与的公垂线，由于Ｍ为的中点，∽，。，ＥＦ／／ＯＭ，，故ＯＢ＝，．解法三．（转化为面面距）易证平面／／平面，用等体积法易得Ａ到平面距离为斜边上的高。解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点M，作MEBC于E，过E作ENBD交BD于N，易知MN为BD与的公垂线时，MN最小。设BE=，CE=ME=，

4、EN=，MN====。·当时，时，。【点评】求异面直线间的距离的方法较多，可以根据具体情况灵活选用。【变式演练1】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.直线到平面的距离方法一几何法使用情景直线上一点在平面的射影位置比较容易确定。解题步骤找作证（定义）求（解三角形）方法二向量法使用情景直线上的点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系求平面的法向量求平面的斜向量的坐标（）代入公式，即得直线到平面的距离。（2）∵B1B∥A1A，∴B1B⊥BC，即侧面BB1C1C为矩形。∴又，∴

5、S全=（3）∵cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB，∴cos∠A1AO=∴sin∠A1AO=，∴A1O=A1Asin∠A1AO=∴（4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1∵BC⊥AM，BC⊥A1A∴BC⊥平面AA1M1M∴平面AA1M1M⊥侧面BCC1B1在平行四边形AA1M1M中过A1作A1H⊥M1M，H为垂足则A1H⊥侧面BB1C1C∴线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离BACD∴【点评】：线面

6、距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用作垂线。【变式演练2】已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。例4在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。解：（1）证明：由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1，[来源:学,科,网]同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1。（2）解：设两平行平面A1BC1与AC

7、D1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。由于，则S·d=·BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。（3）解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于。【高考精选传真】1.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）[来源:学