专题14 空间点点距、点线距、点面距的求法

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1、第14讲：空间点点距、点线距和点面距的求法【考纲要求】1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、了解向量方法在研究几何问题中的应用.【基础知识】一、空间的三种距离3、点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则是点到平面的距离。即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离ABCα常用求法：①几何法：作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点到平面的距离，如果已知点到

2、平面的距离，则可以根据求出点到平面的距离；③向量法：如下图所示，已知AB是平面α的一条斜线，为平面α的法向量，则A到平面α的距离为；二、以上所说的距离（点点距，点线距，点面距）都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离.。三、以上距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解，体现了数学中的转化思想，把空间的问题转化为平面的问题，把复杂的问题转化成简单的问题解答。四、在三种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法。五、在这三个距离中，求点到平面的距离是重点和难点。【方法讲评

3、】空间点点距方法一几何法使用情景把该线段放到三角形中比较方便解三角形解题步骤把该线段放到三角形中解答。16方法二向量法使用情景解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系分别求出两个点的坐标代入空间两点间的距离公式例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小.【变式演练1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D

4、1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.(1)求证PQ∥平面CDD1C1；(2)求证PQ⊥AD；(3)求线段PQ的长.空间点线距方法一几何法使用情景比较容易找到点在直线上的射影，解三角形比较方便。[来源:Z#xx#k.Com][来源:学科网ZXXK]解题步骤找到或作点在直线上的射影把该垂线段放到三角形中解答。方法二向量法[来源:学*科*网]使用情景找点在直线上的射影比较麻烦，解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系分别求出直线的方向向量，两个点的坐标，其中，代入点到

5、直线的距离公式16，其中，是直线的方向向量例2正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为。解：过M作MO⊥EF，交EF于O，则MO⊥平面BCFE.如图所示，作ON⊥BC，设OM=x，图又tanMBO=，∴BO=2x又S△MBE=BE·MB·sinMBE=BE·MES△MBC=BC·MB·sinMBC=BC·MN∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=

6、。【点评】（1）该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。（2）该题是利用几何法求的点到线的距离，其中主要是用到了解三角形的知识。【变式演练2】平面α内有Rt△ABC,∠C=90°,P是平面α外一点,且PA=PB=PC,P到α的距离是40cm,AC=18cm,则点P到BC边的距离是____________________________________.例3如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°16且AB//CD，AB=CD.（1）

7、点F在线段PC上运动，且设为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；（2）二面角F—CD—B为45°，求二面角B—PC—D的大小；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.（3）在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.在，在代入得：即点E到平面PBC的距离为又点A到平面PBC的距离为【点评】本题利用几何法求点到面的距离，把点到面的距离转化到平行直线上另外一点到平面的距离。例4如图，四面体ABCD中，O、E分别

8、BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2。（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离。解：(1)证明：连结OC。∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD。∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD。16在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。而AC=2，∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC。∴AB平面BCD。（Ⅲ）解：设