泛函分析之h空间上的有界线性算子

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1、Hirbert空间上的有界线性算子LISE定理：H空间U上的每个有界线性泛函fuU,ST,f(x)=(x,u)，

2、

3、f

4、

5、=

6、

7、u

8、

9、伴随算子：(Tx,y)=(x,T*y)

10、

11、T

12、

13、=

14、

15、T*

16、

17、定理：T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是T1与T2可交换定理：T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M定理：T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交定理：T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):xU,

18、

19、x

20、

21、=1}M=sup{(Tx,x):xU,

22、

23、x

24、

25、=1}则

26、

27、

28、T

29、

30、=max{

31、m

32、,

33、M

34、}推论：T是H空间U上的自伴算子，则

35、

36、T

37、

38、=sup{

39、(Tx,x)

40、:xU,

41、

42、x

43、

44、=1}定义：U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0定义：{Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。定理：{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T定理：T为正算子，则正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。推论：T为正算子，x0U,if(Tx0,x0)=0,则

45、Tx0=0推论：自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0定义：U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF任意x,y,zU,αβC有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)则A()是U上的一个双线性泛函，IF任意x,yU,A(x,y)=A(x,y)~则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函定义：A()是内积空间U上的双线性泛函，IF存在C>0,ST,

46、A(x,y)

47、≤C

48、

49、x

50、

51、

52、

53、y

54、

55、则A()是有界的，令

56、

57、A

58、

59、=sup

60、A(x,y)

61、称为其范数定理：

62、T是H空间U上的有界线性算子，则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且

63、

64、A

65、

66、=

67、

68、T

69、

70、推论：A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意xU,A()为实数且A()有界。A是有界埃尔米特泛函，令m=infA,M=supA,则

71、

72、A

73、

74、=max{

75、m

76、,

77、M

78、}投影算子定义：Px=x1,则P为定义在U上的算子。P为L上的正交投影算子，简称投影算子。L为P的投影子空间。定理：U上的有界线性算子P为投影算子的充要条件是P自伴&&P2=P推论：P为投影算子，则P为正算子复H空间U上的有界线性算子P为投影算子的充要条件是任意xU,有

79、

80、Px

81、

82、2=(Px,x)定义：

83、U中两两互相正交的子空间L,M直接和称为正交和定理：投影算子P1,P2的和P1+P2为投影算子充要条件是P1P2=0或L1与L2正交定理：投影算子P1,P2的积P1P2为投影算子充要条件是P1P2=P2P1定理：投影算子P1,P2的差P1-P2为投影算子充要条件是P1P2=P2或L2L1或P2≤P1