线性算子与线性泛函

线性算子与线性泛函

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时间:2018-09-27

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1、第二章线性算子与线性泛函第一节有界线性算子一、线性算子本段中只需假设等是上的向量空间。定义:若一个映射满足,则称为从到的线性算子。容易看出,上述等式可推广到更一般的情形:。命题2.1.1设是一线性算子,则以下结论成立:(1)任给子空间与子空间,与分别为与的子空间。特别,与(值域)是的子空间;是的子空间(称为的核或零空间)。(2)若向量组线性相关,则亦线性相关;若是的子空间且,则。(3)是单射。说明:若,则称为零算子,就记为0;若为常数,则称为纯量算子(或相似变换,若),记作,当与1时,分别是零算子和单位算子。对线性算子可定义两种自然的运算:线性运算与乘法。

2、若是线性算子,,则是一个线性算子,它定义为若是另一个算子,则由定义出一个线性算子,称它为与的乘积。实际上,线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证,如上定义的运算有以下性质:只要以上等式的一端有意义。若线性算子为双射,则称它为线性同构,此时其逆映射亦为线性算子。是线性同构的充要条件是,存在线性算子,使得二、有界线性算子定义2.1.2设是一个线性算子。令若,则称为从到的有界线性算子,且称为的算子范数,简称为范数。若,则称为无界算子。约定以记从到的有界线性算子之全体,简写为。注1:的有界的等价刻画:(1),有或(2)映中的有界集为中的有界集。注2:若,则

3、对任给的有注3:范数定义的几种等价形式(1)(2)(3)例2.1.3设,给定。定义是从到自身的线性算子。求。命题2.1.4设是一个线性算子,则有界连续。推论:(1)是拓扑同构与皆连续(即为同胚);(2)若,收敛,则有。例2.1.5:设,在与中均采用sup范数。显然是一线性算子。令,则,而,可见是无界算子。三、有界线性算子的运算与扩张命题2.1.6:依算子范数是一个赋范空间;当空间完备时,是Banach空间。定理2.1.7(扩张定理):设是的稠密子空间,,完备,则可保持范数惟一地扩张到上。若线性算子是单射(即),则是一确定的线性算子,当它有界时称为的有界逆,

4、并说有有界逆。命题2.1.8线性算子有有界逆的充要条件是存在,使得。第二节常用有界线性算子一、矩阵设是有限维赋范空间,。分别取的基与的基。设则完全由矩阵所确定。若分别对应矩阵,则算子恰好对应矩阵。这样,线性算子空间线性同构于矩阵空间,因而对的研究可代之以对的研究。任给,依矩阵乘法自然地定义一个线性算子:其中当作阶矩阵。不妨用同一字母表示算子(2.2.1),它也可表成:若在中使用范数则可看作的子空间,只需将等同于中的元。通常称范数(2.2.2)为范数,采用范数的也记作。相应地,算子(定义见(2.2.1))的范数记作,即也称为的范数。命题2.2.1设,则。是的

5、特征值的全体。以记一个无穷矩阵,其中。仿照,形式地定义一个算子:仍将式(2.2.7)所定义的算子记作。命题2.2.2设算子定义如式(2.2.7),依式(2.2.3)(但假定其中)。(1)若,则且。(2)若,则且。(3)若,则且。二、积分算子设,函数为定义在上的Lebesgue可测函数。定义积分算子要求上述积分对几乎所有存在,函数称为积分算子的核或核函数。命题2.2.3设是上的Lebesgue可测函数,算子依式(2.2.8)定义,约定(范数又称为本性上确界)。1、若则且。2、若则且。3、若则且。例子考虑积分算子:取可将(2.2.9)写成(2.2.8)的标准形

6、式。由命题2.2.3得:。命题2.2.4设在上连续,积分算子定义如式(2.2.8),则,且下面考虑几个具有特殊形式核的积分算子。(一)给定函数,以为核。此时,积分算子为通常将式(2.2.11)右端的积分记作,并称它为函数与的卷积。算子显然是在其有定义的集合上的线性算子,其定义域与性质则取决于的选择。命题2.2.5设。(1)若,则,且。(2)若,则,且,此处,采用sup范数。(3)若,则,且。定理的证明需要如下引理:引理2.2.6设,,则当时有。(二)以为核。此时就是的Fourier变换。命题,且。这里依sup范数为一Banach空间。三、微分算子定义1.3

7、.7设(1)若,则称在中稠密;若,则称为的稠子集;的稠子集就称为稠集。(2)若含可数的稠子集,就称为可分集;若本身可分,则称为可分空间。(3)若,即为稠集,则称为的基本集。(4)若是一序列,每个可惟一地表为,则称为的Schauder基。注:(1)若是中的稠集,则每个可表为中某序列的极限;(2)若是的基本集,则每个可用中元的线性组合逼近;(3)稠集与Schauder基都是基本集;(4)可分有可数的基本集,因而有Schauder基的空间必定可分。例1.3.8(1)空间的基本集。令,1在第项,则是空间的Schauder基,因而是的基本集且是可分的。(2)空间的基

8、本集,。由Weierstrass定理,每个可用上的多项式一致逼近,

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