线性算子与线性泛函

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1、第二章线性算子与线性泛函第一节有界线性算子一、线性算子本段中只需假设等是上的向量空间。定义：若一个映射满足，则称为从到的线性算子。容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：。命题2.1.1设是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间与子空间，与分别为与的子空间。特别，与（值域）是的子空间；是的子空间（称为的核或零空间）。（2）若向量组线性相关，则亦线性相关；若是的子空间且，则。（3）是单射。说明：若，则称为零算子，就记为0；若为常数，则称为纯量算子（或相似变换，若），记作，当与1时，分别是零算子和单位算子。对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。

2、若是线性算子，，则是一个线性算子，它定义为若是另一个算子，则由定义出一个线性算子，称它为与的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：只要以上等式的一端有意义。若线性算子为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射亦为线性算子。是线性同构的充要条件是，存在线性算子，使得二、有界线性算子定义2.1.2设是一个线性算子。令若，则称为从到的有界线性算子，且称为的算子范数，简称为范数。若，则称为无界算子。约定以记从到的有界线性算子之全体，简写为。注1：的有界的等价刻画：（1），有或（2）映中的有界集为中的有界集。注2：若，则

3、对任给的有注3：范数定义的几种等价形式（1）（2）（3）例2.1.3设，给定。定义是从到自身的线性算子。求。命题2.1.4设是一个线性算子，则有界连续。推论：（1）是拓扑同构与皆连续（即为同胚）；（2）若，收敛，则有。例2.1.5：设，在与中均采用sup范数。显然是一线性算子。令，则，而，可见是无界算子。三、有界线性算子的运算与扩张命题2.1.6：依算子范数是一个赋范空间；当空间完备时，是Banach空间。定理2.1.7（扩张定理）：设是的稠密子空间，，完备，则可保持范数惟一地扩张到上。若线性算子是单射（即），则是一确定的线性算子，当它有界时称为的有界逆，

4、并说有有界逆。命题2.1.8线性算子有有界逆的充要条件是存在，使得。第二节常用有界线性算子一、矩阵设是有限维赋范空间，。分别取的基与的基。设则完全由矩阵所确定。若分别对应矩阵，则算子恰好对应矩阵。这样，线性算子空间线性同构于矩阵空间，因而对的研究可代之以对的研究。任给，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：其中当作阶矩阵。不妨用同一字母表示算子（2.2.1），它也可表成：若在中使用范数则可看作的子空间，只需将等同于中的元。通常称范数（2.2.2）为范数，采用范数的也记作。相应地，算子（定义见（2.2.1））的范数记作，即也称为的范数。命题2.2.1设，则。是的

5、特征值的全体。以记一个无穷矩阵，其中。仿照，形式地定义一个算子：仍将式（2.2.7）所定义的算子记作。命题2.2.2设算子定义如式（2.2.7），依式（2.2.3）（但假定其中）。（1）若，则且。（2）若，则且。（3）若，则且。二、积分算子设，函数为定义在上的Lebesgue可测函数。定义积分算子要求上述积分对几乎所有存在，函数称为积分算子的核或核函数。命题2.2.3设是上的Lebesgue可测函数，算子依式（2.2.8）定义，约定（范数又称为本性上确界）。1、若则且。2、若则且。3、若则且。例子考虑积分算子：取可将（2.2.9）写成（2.2.8）的标准形

6、式。由命题2.2.3得：。命题2.2.4设在上连续，积分算子定义如式（2.2.8），则，且下面考虑几个具有特殊形式核的积分算子。（一）给定函数，以为核。此时，积分算子为通常将式（2.2.11）右端的积分记作，并称它为函数与的卷积。算子显然是在其有定义的集合上的线性算子，其定义域与性质则取决于的选择。命题2.2.5设。（1）若，则，且。（2）若，则，且，此处，采用sup范数。（3）若，则，且。定理的证明需要如下引理：引理2.2.6设，，则当时有。（二）以为核。此时就是的Fourier变换。命题，且。这里依sup范数为一Banach空间。三、微分算子定义1.3

7、.7设（1）若，则称在中稠密；若，则称为的稠子集；的稠子集就称为稠集。（2）若含可数的稠子集，就称为可分集；若本身可分，则称为可分空间。（3）若，即为稠集，则称为的基本集。（4）若是一序列，每个可惟一地表为，则称为的Schauder基。注：（1）若是中的稠集，则每个可表为中某序列的极限；（2）若是的基本集，则每个可用中元的线性组合逼近；（3）稠集与Schauder基都是基本集；（4）可分有可数的基本集，因而有Schauder基的空间必定可分。例1.3.8（1）空间的基本集。令，1在第项，则是空间的Schauder基，因而是的基本集且是可分的。（2）空间的基

8、本集，。由Weierstrass定理，每个可用上的多项式一致逼近，