第三章 线性算子与线性泛函.ppt

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1、第三章线性算子与线性泛函一致有界原理（共鸣定理）及其应用Hahn-Banach定理，非零有界线性算子存在性定理共轭空间与共轭算子开映射、逆算子及闭图形定理算子谱理论简介定义：设A是距离空间X的子集，若A在X中的任意一个非空开集中均不稠密（A没有内点），则称A是稀疏(疏朗)集；称X是第一纲的，若X可表示成至多可数的稀疏集的并；不是第一纲的X称为是第二纲的。例子：X=有理数集，定义距离d(x,y)=

2、x-y

3、,则X是第一纲的，每个单点集是X中的疏朗集。定理1(Baire纲定理)：完备的距离空间是第二纲的。推论1:欧式空间、Banach空间、Hilbert空间、有界线性算子空间

4、L(X,Y)都是第二纲的。第一节共鸣定理及其应用第一节共鸣定理及其应用共鸣定理的应用1.机械求积公式的收敛性2.Lagrange插值公式的发散性定理：差值多项式作为连续函数的近似表达时，插值点的无限增多不能更好的逼近插值函数。3.Fourier级数的发散性问题：存在连续的周期函数，其Fourier级数在给定点发散。Fourier级数的发散性问题法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理

5、、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。在积分变换中，F-变换是大家熟悉的，为让符号Σ与积分的交换，应当对F-级数(1)的收敛性加以必要的限制,如一致收敛性。因为可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。大量的事实让人们误以为：“ƒ的傅里叶级数一定能收敛于ƒ自身”第二节Hahn-Banach定理n维赋范线性空间上的线性泛函与n元数组一一对应，有着具体的形式。有限维赋范线性空间上的线性泛函和线性算子都是连续的，那无穷维的情形呢，是否有非零的连续线性泛函，如果有，是否足够多？解决该问题的基本的想法之一：将我们熟悉的有限维上的泛函进行推广、延拓。这节是考

6、虑的实赋范线性空间，对复的情形，类似结论都是成立的，不在赘述设X是实线性空间，称X上泛函p是次可加正齐次的，如果满足例如：求元素的范数就是这种泛函定理1.(Hahn-Banach)：设p是实线性空间X上的次可加正齐次泛函，f是X的子空间M上的实线性泛函且那么存在X上的实线性泛函F满足：定理1(Hahn-Banach)证明的基本思路其证明：先对X仅比M多一维处理，再根据Zorn引理说明存在性。注：F没有唯一性。定理2：设X是实赋范线性空间，如果X多于一点，则X上必存在非零的连续线性泛函。定理3（Banach保范延拓定理）：实赋范线性空间X的子空间M上的有界线性泛函f可保范延

7、拓为X上的有界线性泛函F。推论1：设M是X的真闭子空间，则存在X上的有界线性泛函F满足：推论2：设，则存在X上的有界线性泛函满足注：这表明只要X多有一点，则X上必存在非零的连续线性泛函。推论3：设，若对X上任意连续线性泛函f都有练习：1.设X是实赋范线性空间，。2.设X是赋范线性空间，如果X*是可分的，那么X也是可分的。第三节共轭空间与共轭算子若X与（X*）*（X的二次对偶空间）等距同构，则称X是自反的。例子：L^p(p>1)是自反的，L^1不是自反的C[a,b]不是自反的（参见哈尔莫斯的《测度论》中的相关结论）。通过嵌入映射，可视X是X**的子空间。若X是自反的，那么X

8、*也是自反的。定理1：设X是赋范线性空间，如果X*是可分的，则X是可分的该定理启发我们可以用X*的性质来研究X的性质，该方向发展成为局部凸线性空间理论中的对偶理论定义1：设X,Y是赋范线性空间，B(X,Y)中元素T,Tn满足：对任意X中x和Y*中f，数列f(Tnx)收敛于f(Tx),则称Tn弱收敛于T。注：从定义可看出，算子列的一致收敛可导出强收敛，强收敛可导出弱收敛，反之都是不成立的。例如后项移位算子S*共轭算子定义2：设X、Y是赋范线性空间，T是从X到Y上的有界线性算子，对Y*中点f，式f*(x)=f(T(x)),定义了X上的一个有界线性泛函，该对应关系T*（f）=f

9、*是Y*到X*的算子，称T*为T的共轭算子。例子：对实矩阵A，A*恰好就是A的转置。（P1073.18）对复矩阵B，B*是B转置后，每个元素再取复共轭，即B*是B的Hermit矩阵。共轭运算的性质在许多实际问题中，我们常常用到通过已知条件求未知元的问题，例如解代数方程，微（积）分方程等等将之抽象，统一起来研究，就是一般算子方程的求解问题，即考虑相应算子的逆算子的存在性问题如果还要求“解的唯一性，和对依赖的初始条件是连续的”，那该问题便归结为“寻求连续的逆算子的存在问题”这就是我们本节要介绍的与之密切相关的一些定理。第五节开映射