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《泛函分析之b空间上的有界线性算子》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Banach空间的有界线性算子定义：E及E1都是实的线性空间，T:DE→FE1,IF,x,yD,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的，IF实数α&&xD,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。T是连续的，则T为连续线性算子。IFT将D中任一有界集映成有界集，则T是有界的，ELSE，T是无界的定理：E，E1是实赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子，则T满足齐次性，因此T是连续线性算子。E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T有界的充要
2、条件是M>0,ST,xD,
3、
4、Tx
5、
6、≤M
7、
8、x
9、
10、。E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，IFT在某点x0D连续，则T在D连续。E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T连续的充要条件是T有界。定义：E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子。ST
11、
12、Tx
13、
14、≤M
15、
16、x
17、
18、对xD都成立的整数M的下确界为T的范数，记
19、
20、T
21、
22、.定理：E，E1是赋范线性空间，在B(E,E1)中定义线性运算：(T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B
23、(E,E1)是一赋范线性空间。定义：称B(E,E1)为线性算子空间，B(E)称为定义在E上的有界线性算子。T,TnB(E,E1),IFLim
24、
25、Tn-T
26、
27、=0,则｛Tn｝按算子范数（一致算子拓扑）收敛于T定理：Tn,TB(E,E1),｛Tn｝按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是｛Tn｝在任意有界集上一致收敛于TE1是B空间，则B(E,E1)也是B空间。定义：T,TnB(E,E1),IFxE,Lim
28、
29、Tnx-Tx
30、
31、=0,则｛Tn｝强（强算子拓扑）收敛于T开映射定理：有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某
32、个第二类集F,则F=E1且M0>0,ST,yE1,xE,Tx=y&&
33、
34、x
35、
36、≤M0
37、
38、Tx
39、
40、推论：有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则T将E中任何开集映成E1中的开集。有界线性算子T将B空间E映入B空间E1,则T的值域或者是E1或者是E1中第一类集。逆算子定理：有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,且T是单射，则T存在有界逆算子。推论：（E,
41、
42、
43、
44、1）（E,
45、
46、
47、
48、2）为B空间，IFK>0,ST,xE,
49、
50、x
51、
52、1≤K
53、
54、x
55、
56、2,则
57、
58、
59、
60、1与
61、
62、
63、
64、2等价
65、，所以（E,
66、
67、
68、
69、1）（E,
70、
71、
72、
73、2）拓扑同构定理：E,E1是赋范线性空间，T是E的子空间D到E1的线性算子，则T为闭算子充要条件是{xn}D,IF{xn}{Txn}在E，E1中分别收敛于x,y,则xD&&Tx=y闭图像定理：T是B空间E到B空间E1的闭算子，则T有界。定义：E为线性空间，p为定义于E的泛函，IFx,yE,p(x+y)≤p(x)+p(y),则p为次可加的，IFα≥0&&xE,p(αx)=αp(x),则p为正齐次的共鸣定理：｛Tα｝为定义于B空间E上值域包含在赋范线性空间E1的有界线性算子族，I
74、FxE,sup{
75、
76、Tαx
77、
78、}<∞,则{
79、
80、Tαx
81、
82、}有界，或者说{Tα}一致有界定理：{Tn}是B空间E到B空间E1的有界线性算子列，则{Tn}按强算子拓扑收敛于TB(E,E1)的充要条件是{Tn}一致有界&&E的某稠密子集G，ST,xG,{Tnx}在E1中收敛(当两个条件同时满足时，
83、
84、T
85、
86、≤Lim
87、
88、Tn
89、
90、)。E,E1是B空间，则B(E,E1)对于算子列按强算子拓扑收敛是完备的。定理：G是实线性空间E的子空间，f是定义在G上的实线性泛函，p是定义在E上的次可加正齐次泛函，f与p之间满足f(x)≤p(
91、x)(xG)则，必实线性泛函F0定义在E上，ST：(1)xG时，F0(x)=f(x)(2)xE时，F0(x)≤p(x)引理：设f是复赋范线性空间E上的有界线性泛函，令φ(x)=Ref(x)(xE),则φ是E上的实有界线性泛函&&f(x)=φ(x)-iφ(ix)定理：G是赋范线性空间E的子空间，f是定义在G上的有界线性泛函，则f可以延拓到整个E，且保持范数不变，即存在定义于E上的有界线性泛函F0,ST:(1)xG时，F0(x)=f(x)(2)
92、
93、F0
94、
95、=
96、
97、f
98、
99、G,推论：G是赋范线性空间E的子空间，x0E,IF
100、ρ(x0,G)=inf
101、
102、x0-x
103、
104、=δ>0,则E上的有界线性泛函f,ST,
105、
106、f
107、
108、=1/δ,f(x0)=1,&&f(x)=0(xG)G是赋范线性空间E的子空间，x0E,IFρ(x0,G)=inf
109、
110、x0-x
111、
112、=δ>0,则E上的有界线性泛函f1,ST,
113、
114、f1
115、
116、=1,f1(x0)=δ,&&f1(x)=0(xG)E是赋范线性空间，E≠｛0｝，则x0E，x0≠0,E上
