泛函分析之H空间上的有界线性算子.doc

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1、Hirbert空间上的有界线性算子LISE定理:H空间U上的每个有界线性泛函fuU,ST,f(x)=(x,u),

2、

3、f

4、

5、=

6、

7、u

8、

9、伴随算子:(Tx,y)=(x,T*y)

10、

11、T

12、

13、=

14、

15、T*

16、

17、定理:T1,T2是H空间上的自伴算子,则T1T2是自伴算子的的充要条件是T1与T2可交换定理:T是H空间U上的自伴算子,M为T的值域,N为T的零空间,则N=M定理:T是H空间U上的自伴算子,则T的任一特征值必为实数,且对应与不同特征值的特征向量相互正交定理:T是H空间U上的自伴算子,令m=inf{(Tx,x):xU,

18、

19、x

20、

21、=1}M=sup{(Tx,x):xU,

22、

23、x

24、

25、=1}则

26、

27、T

28、

29、

30、=max{

31、m

32、,

33、M

34、}推论:T是H空间U上的自伴算子,则

35、

36、T

37、

38、=sup{

39、(Tx,x)

40、:xU,

41、

42、x

43、

44、=1}定义:U是实H空间,T∈B(U)为自伴算子,IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子,记T≥0定义:{Tn}为自伴算子列,if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列,单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。定理:{Tn}为一致有界的单调自伴算子列,则自伴算子T,ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T定理:T为正算子,则正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。推论:T为正算子,x0U,if(Tx0,x0)=0,则Tx0=0推

45、论:自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换,则TT1≥TT2.特别的,T2=0时TT1≥0定义:U是内积空间,A()是定义在U的二元泛函,IF任意x,y,zU,αβC有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)则A()是U上的一个双线性泛函,IF任意x,yU,A(x,y)=A(x,y)~则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函定义:A()是内积空间U上的双线性泛函,IF存在C>0,ST,

46、A(x,y)

47、≤C

48、

49、x

50、

51、

52、

53、y

54、

55、则A()是有界的,令

56、

57、A

58、

59、=sup

60、A(x,y)

61、称为其范数定理:T是H空间U上的有

62、界线性算子,则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且

63、

64、A

65、

66、=

67、

68、T

69、

70、推论:A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意xU,A()为实数且A()有界。A是有界埃尔米特泛函,令m=infA,M=supA,则

71、

72、A

73、

74、=max{

75、m

76、,

77、M

78、}投影算子定义:Px=x1,则P为定义在U上的算子。P为L上的正交投影算子,简称投影算子。L为P的投影子空间。定理:U上的有界线性算子P为投影算子的充要条件是P自伴&&P2=P推论:P为投影算子,则P为正算子复H空间U上的有界线性算子P为投影算子的充要条件是任意xU,有

79、

80、Px

81、

82、2=(Px,x)定义:U中两两互相正交的子空间

83、L,M直接和称为正交和定理:投影算子P1,P2的和P1+P2为投影算子充要条件是P1P2=0或L1与L2正交定理:投影算子P1,P2的积P1P2为投影算子充要条件是P1P2=P2P1定理:投影算子P1,P2的差P1-P2为投影算子充要条件是P1P2=P2或L2L1或P2≤P1

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