相关分析与相关系数

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1、第五讲相关分析一、“相关”的意义（一）相关现象　　教育工作者常发觉，许多教育现象之间或教育行为之间存在着一定的相互联系。例如，在学习行为上，隐约地表现出这么一些特点：学生的数学成绩和物理成绩之间关系密切，似乎许多数学成绩优秀的学生在物理科目上的成绩大多也是优秀的，许多数学水平中等的学生在物理科目上的学习水平大多数也是中等的，许多数学成绩较差的学生物理科目上的学习成绩大多也是较差的。这说明数学成绩和物理成绩之间存在一种“水涨船高、水落船低”的互相关联的趋势。当然,并不是所有事物之间都有这么一种相同的明显的关联趋势。比如，数学成绩与语文成绩之间或语文成绩与化学成绩之间，其相互关联的

2、趋势就不是那么明显可察。而另外一些教育现象，例如对学习材料的复习次数与遗忘量之间的关系，其遗忘量在一定范围内随着复习次数的增加而减小。可见，行为变量或现象之间存在着种种不同模式不同程度的联系。（二）、相关的直观意义——散点图分析正相关与负相关——　　如果相互关联着的两变量，一个增大另一个也随之增大，一个减小另一个也随之减小，变化方向一致，就称两变量之间有正相关。如果相互关联着的两变量，一个增大另一个反而减小，变化方向相反，就称叫两变量之间有负相关。直线性相关与曲线相关——直线性相关是所有关联模式中最简单的一种，有关联的两个变量各自以大体均等的速度变化着。若以平面坐标散点图来理解

3、，直线性相关意指：两个变量的成对观测数据在平面直角坐标系上描点构成的散点图分布的教点会环绕在某一条直线附近。直线性相关的含义，是以平面坐标散点图来理解，我们还可以从相关散点图的几何分布形态来认识相关的强度与方向，如果散点图形杂乱无章,没有显示出向某个方向延伸的情形,则说明相关程度很低；如果散点图分布形成一个边界不规则的椭圆，则说明两个变量存在中等程度的相关；若这里的椭圆越扁长，则相关程度越高。至于相关的方向，则可以通过散点椭圆图形的长轴所在直线的斜率来判断。从左下方往右上方延伸的情形是正相关；从左上方往右下方延伸的情形是负相关。这样，我们可以从散点图的分布情况，初步判断两个变量

4、之间的相关情况。二、相关的计算及分析（一）、（积差）相关系数r定义，设两个现象有如下两组观测值称为“X与Y的相关系数”相关系数用r表示，r在-1和+1之间取值。相关系数r的绝对值大小（即），表示两个变量之间的直线相关强度；相关系数r的正负号,表示相关的方向，分别是正相关和负相关；若相关系数r=0，称零线性相关，简称零相关；相关系数=1时，表示两个变量是完全相关，这时,两个变量之间的关系成了确定性的函数关系,这种情况在行为科学与社会科学中是极少存在的。　　一般说来,若观测数据的个数足够多的话,计算出来的相关系数r就会更真实地反映客观事物之间的本来面目。当0.7<1，称为高度相关；

5、当0.4时，称为中等相关；当0.2时，称为低度相关；当时，称极低相关或接近零相关。由于事物之间联系的复杂性，在实际研究中，通过统计方法确定出来的相关系数r即使是高度相关，我们在解释相关系数的时候，还要结合具体变量的性质特点和有关专业知识进行。两个高度相关的变量,它们之间可能具有明显的因果关系；也可能只具有部分因果关系；还可能没有直接的因果关系，其数量上的相互关联，只是它们共同受到其他第三个变量所支配的结果。除此之外，相关系数r接近零,这只是表示这两个变量不存在明显的直线性相关模式，但不能肯定地说这两个变量之间就没有规律性的联系。通过散点图我们有时会发现，两个变量之间存在明显的某

6、种曲线性相关，但计算直线性相关系数时，其r值往往接近零。对于这一点，读者应该有所认识。　　在统计学教科书中，除非特别说明，直线性相关一般情况下就称相关；直线性相关系数就称相关系数。相关系数的计算方法多种多样，这里主要介绍：积差相关、等级相关和点双列相关。这些相关分析方法在行为科学研究以及在教育与心理测量研究中有广泛的应用。【例1】练习（用“统计计算器”）算出某学生X（数学）与Y（语文）成绩之间的相关系数（表1）：学生号017482547667246068027175504156265325038081680065616480048589722579217565057682577

7、667246232067789592979216853077788592977446776086884462470565712097480547664005920107487547675696438756837573527024563369说明该系数的含义。(答：0.48)（二）、等级相关的概念及基本公式　　针对两列顺序变量数据之间的相关问题，英国心理学家与统计学家斯皮尔曼（C.E.Spearman）在皮尔逊积差相关法思想的基础上，导出了等级相关的计算方法。等级相关是根据两列顺序变量数据中各