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1、协方差与相关系数对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息.但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系.问题的提出：二、相关系数的概念及性质一、协方差的概念及性质三、协方差的关系式定义：设二维随机向量(X,Y)的数学期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存
2、在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]协方差有计算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)任意两个随机变量X与Y的和的方差为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)§1协方差协方差的性质1.2.a,b是常数3.4.定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)证明Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)定理:Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数证明Cov(
3、aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=abCov(X,Y)定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)证明Cov(X+Y,Z)=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=Cov(X,Z
4、)+Cov(Y,Z)协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.定义:设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称为随机变量X与Y的相关系数或标准协方差.§2相关系数引理:对于二维随机向量(X,Y),若E(
5、X2),E(Y2)存在,则有
6、E(XY)
7、2≤E(X2)E(Y2)证明:考虑实变量t的二次函数h(t)=E[(tX-Y)2]=t2E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)因为对一切t,有(tX-Y)2≥0,所以h(t)≥0.从而二次方程h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得
8、E(XY)
9、2≤E(X2)E(Y2)§2.1相关系数的性质性质1:随机变量X和Y的相关系数满足
10、ρXY
11、≤1.性质2:
12、ρXY
13、=1的充要条件是,存在常数a,b使得P{Y=a+bX}=1.性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.性质1:随
14、机变量X和Y的相关系数满足
15、ρXY
16、≤1.证明令则从而
17、ρXY
18、≤1.性质2:
19、ρXY
20、=1的充要条件是,存在常数a,b使得 P{Y=aX+b}=1证明令由ρXY2=[E(X*Y*)]2≤E(X*)E(Y*)=1知
21、ρXY
22、=1等价于[E(X*Y*)]2-E(X*)E(Y*)=0它又等价于h(t)=E[(tX*-Y*)2]=0有重根t0.又因为E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0所以D(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于P{t0X*-Y*=0}=1,即P{Y=aX+b}=1其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y
23、)-t0E(X)σ(Y)/σ(X).性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.证明若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),又Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以§2.2相关系数的含义考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e的值越小表示a+bX与Y的近似程度越好.为此令从而得解得相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量.当
24、ρXY
25、=1时,说明X与Y间存在
26、着线性关系(除去一个零概率事件以外).当
27、ρXY
28、<1时,这种线性相关程度随着ρXY的减小而减弱.定义:(1)当ρXY=1时,称X与Y正线性相关;(2)当ρXY=-1时,称X与Y
