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1、§2方差、协方差与相关系数 一、方差二、协方差三、相关系数四、矩 一、方差例1例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为：：.问哪一个技术较好？首先看两人平均击中环数，此时，从均值来看无法分辩孰优孰劣.但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好.上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度.称-为随机变量对于均值的离差(deviation)，它是一随机变量.为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用，但由于
2、==0对一切随机变量均成立，即的离差正负相消，因此用是不恰当的.我们改用描述取值的离散程度，这就是方差.定义1若存在，为有限值，就称它是随机变量的方差(variance)，记作Var,Var=(1)但Var的量纲与不同，为了统一量纲，有时用，称为的标准差(standarddeviation).方差是随机变量函数的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的计算公式Var==(2)进一步，注意到==即有Var=.(3)许多情况，用(3)式计算方差较方便些.例1(续)计算例1中的方差Var与Var.解利用(3)式==×0.1+×0.8+×0.1=64.2,Var==
3、64.2--=0.2.同理,Var==65.2-64=1.2>Var,所以取值较分散.这说明甲的射击技术较好.例2试计算泊松分布P(λ)的方差.解所以Var.例3设服从[a,b]上的均匀分布U[a,b]，求Var.解,Var.例4设服从正态分布，求Var.解此时用公式(2)，由于,Var.可见正态分布中参数就是它的方差,就是标准差.方差也有若干简单而重要的性质.先介绍一个不等式.切贝雪夫(Chebyshev)不等式若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数ε，恒有.(4)证设的分布函数为，则==/.这就得(4)式.切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一
4、定意义.事实上，该式断言落在与内的概率小于等于/，或者说，落在区间内的概率大于1-/，从而只用数学期望和方差就可对上述概率进行估计.例如，取ε=3，则≈0.89.当然这个估计还是比较粗糙的（当～时，在第二章曾经指出,P(
5、ξ-
6、3)=P(
7、ξ-
8、3σ)≈0.997).性质1=0的充要条件是P(ξ=c)=1，其中c是常数.证显然条件充分.反之，如果=0，记=c,由切贝雪夫不等式,P(
9、ξ-
10、ε)=0对一切正数ε成立.从而.性质2设c,b都是常数，则Var(+b)=.(5)证Var(+b)=E(+b-E(+b)=E(+b-c-b==.性质3若,则.证因=E-,而E
11、(ξ-c=E-2c+,两边相减得.这说明随机变量ξ对数学期望的离散度最小.性质4=+2(6)特别若两两独立，则=.(7)证Var(=E(-E(=E=E=+2,得证(6)式成立.当两两独立时，对任何有，故E=E(=E=0,这就得证(7)式成立.利用这些性质，可简化某些随机变量方差的计算.例5设ξ服从二项分布B(n,p),求.解如§1例12构造,,它们相互独立同分布，此时Var=pq.由于相互独立必是两两独立的，由性质4.例6例6 设随机变量相互独立同分布,,Var=,().记=,求,.解由§1性质2和本节性质2和4有,.这说明在独立同分布时，作为
12、各的算术平均，它的数学期望与各的数学期望相同，但方差只有的1/n倍.这一事实在数理统计中有重要意义.例7设随机变量ξ的期望与方差都存在,.令,称它为随机变量ξ的标准化.求与Var.解由均值与方差的性质可知,. 二、协方差数学期望和方差反映了随机变量的分布特征.对于随机向量,除去各分量的期望和方差外，还有表示各分量间相互关系的数字特征——协方差.定义2记和的联合分布函数为.若，就称(8)为的协方差(covariance)，记作Cov().显然，.公式(6)可改写为Var()+2.容易验证，协方差有如下性质：性质1Cov()=Cov().性质2设是常数，则.性质3
13、.对于n维随机向量ξ=，可写出它的协方差阵,(9)其中.由性质1可知B是一个对称阵，且对任何实数,,二次型,即随机向量ξ的协方差阵B是非负定的.性质4设ξ=,C=,则的协方差阵为，其中B是ξ的协方差阵.因为，所以的第元素就是的第i元素与第j元素的协方差. 三、相关系数协方差虽在某种意义上表示了两个随机变量间的关系，但的取值大小与ξ,的量纲有关.为避免这一点，用ξ,的标准化随机变量（见例7）来讨论.定义3称(10)为ξ,的相关系数(correlationcoefficient).为了讨论相关系数的意义，先看一个重要的不等式.柯西—许瓦茨(Cauchy—Schwa
14、rz)不等式对任意随机变量ξ,有.(1
