协方差与相关系数

《协方差与相关系数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、二维随机变量的期望与方差对于二维随机变量，如果存在，则称为二维随机变量的数学期望。1、当(X，Y)为二维离散型随机变量时2、当(X，Y)为二维连续型随机变量时例题2.39　设，求。　　　  与一维随机变量函数的期望一样，可求出二维随机变量函数的期望。对二维离散型随机变量(X，Y)，其函数的期望为    对二维连续型随机变量(X，Y)，其函数的期望为 例题2.40　设，求2.41　设(X，Y)服从区域A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线围成的三角形区域，如图2-10所示。求函数的数学期望。　　    

2、 随机变量的数学期望和方差的三个重要性质：1、推广：2、　设X与Y相互独立，则  推广：设相互独立，则    3、　设X与Y相互独立，则  推广：设相互独立，则     仅对性质3就连续型随机变量加以证明证明3由于X与Y相互独立，所以与相互独立，利用性质2、知道     从而有，可以证明：相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立。例题2.42　某学校流行某种传染病，患者约占，为此学校决定对全校1000名师生进行抽血化验。现有两个方案：①逐个化验；②按四个人一组分组，并把四个人抽到的血混合在一起化验

3、，若发现有问题再对四个人逐个化验。问那种方案好？2.10.2协方差与相关系数分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系；结合上面性质3的证明，可以得到以下结论：若X与Y相互独立，则 可以用来刻划X与Y之间的某种关系。定义　设(X，Y)为二维随机变量，若存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记作或，即特别地   故方差，是协方差的特例。计算协方差通常采用如下公式：例题2.43　设二维随机变量(X，Y)的分布密度求定义　若存在，且大于零，则称为X与Y的相关系数，记作，即或若，则称X与Y不相关。由上述讨论

4、知，当X与Y相互独立时，协方差，从而。即X与Y相互独立时，X与Y一定不相关。但X与Y不相关时，X与Y未必独立。例题2.44　设，即X的分布函数又。试证明X与Y不相关，也不相互独立。　　　       上例说明，若，则与不相关。但，说明Y与X间确实存在某种关系。实质上，所刻划的只是随机变量X与Y之间的线性相关程度。若为随机变量X与Y之间的相关系数，则有1、　2、　的充要条件是：，其中a，b为常数，且a≠0。从上述结论看出，的值域为[-1,1]，当时，表明X与Y之间几乎成线性相关关系：。当时，X与Y不相关。

5、注意，这里所讲的不相关，仅指不线性相关，虽然不线性相关，可能有其它的（如二次函数）非线性的相关关系。对于二维正态分布，我们已经证明了二维正态变量的两个分量X与Y独立的充要条件是。还可以证明：恰好是两个正态分量X与Y的相关系数。对于二维正态变量，X与Y相互独立与不相关是等价的。2.10.3矩　协方差矩阵定义　设X是随机变量，若，　存在，则称为X的k阶原点矩，称为X的k阶中心矩。矩是随机变量的重要数字特征，数学期望和方差是它们的特例。当X是离散型随机变量时    ，　当X是连续型随机变量时         

6、例题2.45　设，求。定义　设(X，Y)为二维随机变量，若，　存在，则分别称为二维随机变量(X，Y)的阶混合原点矩和阶混合中心矩。显然，协方差是(X，Y)的二阶混合中心矩，简称为二阶中心矩。若二维随机变量(X，Y)的四个二阶中心矩都存在，分别记为  将它们排成矩阵形式称为二维随机变量的协方差矩阵。    相关系数性质的证明定理1 .证：因为对于、的标准化随机变量、有，所以   D()=D+D2=22=2(1)   即   .定理2 当且仅当时，=1，且当b>0时，=1；当b<0时，=-1.证：(1)设，

7、则，，          即  当b>0时，=1；当b<0时，=-1.     (2)设=1，由定理1的证明可知D()=2(1)，  即  当=1时，=2()=0；       当=-1时，D(+)=2(1+)=0，   则  当时,D()==0  即  .又由，得，即在概率为1的意义下，当时,所以，其中定理3 与独立时=0.证：因为当与独立时，所以=0