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1、协方差与相关系数矩的定义2021/9/302二维随机变量的协方差对二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差，还需要考虑X与Y之间相互关系的数字特征。2021/9/303二维随机变量的协方差设(X,Y)是二维随机变量，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，则称二维随机变量(X,Y)的协方差存在，记为Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]2021/9/304Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]协方差的性质：1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；2
2、）Cov(aX,Y)=aCov(Y,X)；3）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)；由2）和3）可得，4）若X,Y相互独立，则Cov(aX,Y)=0.Cov(aX1+bX2,cY1+dY2)=acCov(X1,Y1)+adCov(X1,Y2)+bcCov(X2,Y1)+bdCov(X2,Y2)二维随机变量的协方差2021/9/305设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，其联合分布律为：则二维随机变量的协方差2021/9/306例1设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，其联合分布律为：XY二维随机
3、变量的协方差2021/9/307设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，则二维随机变量的协方差2021/9/308例2设(X,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为试求(X,Y)的协方差。二维随机变量的协方差2021/9/309例2设(X,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为试求(X,Y)的协方差。二维随机变量的协方差2021/9/3010E[(X-E(X))(Y-E(Y))]协方差也可以这样计算：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E[XY-E(X)Y-XE(Y)+E(X)E(Y)]=E
4、(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)二维随机变量的协方差2021/9/3011例3设(X,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为试求(X,Y)的协方差。二维随机变量的协方差2021/9/3012例3设(X,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为试求(X,Y)的协方差。二维随机变量的协方差2021/9/3013设(X,Y)是二维随机变量，Cov(X,Y),E(X),E(Y)都存在，称为(X,Y)的相关系数。二维随机变量的协方差2021/9/3014例4设(X,Y)是二
5、维随机变量，D(X)=4D(Y)，求2X+3Y与2X-3Y的相关系数。二维随机变量的协方差二维随机变量的协方差2021/9/3015时，称X,Y不相关。两个随机变量X,Y相互独立，一定有X,Y不相关。两个随机变量X,Y不相关，未必有X,Y相互独立。2021/9/3016设X为随机变量，若E(Xk)存在，则称之为随机变量X的k阶原点矩。设X为随机变量，若E[(X-E(X)k]存在，则称之为随机变量X的k阶中心矩。显然，数学期望E(X)是随机变量X的一阶原点矩。方差D(X）是随机变量X的二阶中心矩。矩的定义2021/9/301
6、7设(X,Y)为随机变量，若E(XkYl)存在，则称之为随机变量X与Y的k+l阶混合矩。设(X,Y)为随机变量，若存在，则称之为随机变量与的阶混合中心矩。显然，协方差是随机变量X与Y的二阶混合中心矩。矩的定义设维随机变量的二阶混合中心矩2021/9/3018都存在，则称矩阵为维随机变量的协方差矩阵。显然，我们有即协方差矩阵为对称矩阵。协方差的定义n维正态随机变量2021/9/3019本节的最后，介绍n维正态随机变量的概率密度。我们先将二维正态随机变量的概率密度写成另一种形式，以便将它推广到n维正态随机变量的场合中去。202
7、1/9/3020二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度为n维正态随机变量2021/9/3021现在将花括号中的式子写成矩阵形式，为此，引入则(X1,X2)的协方差矩阵为则上述矩阵的行列式为detC=,C的逆矩阵为n维正态随机变量2021/9/3022于是从而，二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度为n维正态随机变量2021/9/3023类比，n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)的概率密度为其中，C为(X1,X2,…,Xn)的的协方差矩阵，n维正态随机变量2021/9/3024n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)
8、的四条重要性质：n维正态随机变量1）n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)的每一个分量Xi,i=1,2,…,n都是正态变量；反之，若X1,X2,…,Xn都是正态变量，且相互独立，则(X1,X2,…,Xn)是n维正态随机变量；2021/9/3025n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)的四条重要性质：
