协方差与相关系数.ppt

《协方差与相关系数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、随机变量的协方差与相关系数开课系：环科院环境工程、经管院物流管理徐林，数计学院3.3协方差，相关系数一.协方差定义与性质1.协方差定义(P129)若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.为X与Y的协方差,易见Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？例2设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。证:X与Y不相关.而故,X

2、与Y不独立.2.协方差性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数证:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY)=abE(XY)-aE(X)bE(Y)=ab[E(XY)-E(X)E(Y)]=abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);证:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov

3、(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).证:由方差性质(3)的证明过程有注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)方差与协方差的定义期望、方差、协方差的性质对比不相关与独立切比雪夫不等式期望、方差、协方差的性质对比期望方差协方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,

4、Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)当X与Y独立时E(XY)=E(X)E(Y)EX:设随机变量XB（12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差二.相关系数1.定义若r.v.X，Y的方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0，则称为X与Y的相关系数.注：若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相关系数的性质(1)

5、Corr(X,Y)

6、1；(2)

7、Corr(X,Y)

8、=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关Corr(X,Y)=0;1

9、.设(X,Y)服从区域D:0

10、8=0所以Cov(X,Y)即Corr(X,Y)=0E(Y2)=E(X2)=3/4=E(XY)E(X)E(Y)=0例4(X,Y)~p(x,y)=求X,Y的相关系数解:=7/6=5/3所以,Var(X)=Var(Y)=11/36=4/3二维正态分布的特征数(1)X~N(1,12),Y~N(2,22);(3)X,Y独立=0.(2)参数为X和Y的相关系数;(4)不相关与独立等价.随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3记称，则为的协方差阵，记为或定理3.4.2协方差阵对称、非负定.协方差阵的性质称注意点为的相关矩阵.课堂练习1设X~

11、N(0,1),Y~N(0,1),D(XY)=0,求(X,Y)的协差阵.课堂练习2设X,Y的协差阵为求相关阵R.对二维随机变量(X,Y),在给定Y取某个值的条件下,X的分布;在给定X取某个值的条件下,Y的分布.§3.5条件分布与条件期望(1)条件分布列：3.5.1条件分布(2)条件密度函数：(3)条件分布函数：3.5.2条件数学期望定义3.5.4E(X

12、Y=y)是y的函数.注意点所以记g(y)=E(X

13、Y=y).进一步记g(Y)=E(X

14、Y).重期望公式定理3.5.14.4矩、协方差矩阵1.K阶原点矩Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(

15、

16、X

17、k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E

18、X-E(X)

19、k称为X的K阶绝对中心矩；3.K+l阶混合原点矩E(XkYl),k,