数列极限与函数极限的关系与区别 数学毕业论文

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1、2014届本科毕业论文(设计)题目：数列极限与函数极限的关系与区别所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年5月5日新疆师范大学教务处新疆师范大学2014届毕业生毕业论文（设计）目录引言21.数列极限31.2数列极限的定义及注意点：31.3数列极限的两点说明41.4数列收敛的条件41.5数列极限的性质61.6收敛数列的四则运算81.7.数列极限的判别法92.函数极限92.1函数极限的定义92.2函数极限的定义及注意点102.3函数极限存在的条件102.4函数极限的性质102.5函数极限的四则运算122.6函数极限的判别法12参考文献

2、：15致谢16新疆师范大学2014届毕业生毕业论文（设计）摘要：数列极限和函数极限是数学分析中最重要的部分，数学中的极限包括数列极限和函数极限，“极限”是我们研究函数的最重要的工具方法，用极限来定义：函数的连续性，导数，积分等数学分析中的最重要的概念。数列极限和函数极限即有区别又有联系，正确理解极限理论和性质是对学习微积分的基础，数列极限的定义和函数极限的定义往往使学习者感到学习数学分析的难度程度，如果用几何意义来解释比较易掌握，研究数列极限时常考虑到该数列是否存在极限，研究函数极限时，从函数值的变化趋势来判断着极限是否存在极限。关键词：数列极限；函数极限；关系；区别-15-新疆师范大

3、学2014届毕业生毕业论文（设计）引言数学分析中的极限分为数列极限和函数极限，数列极限和函数极限是对学习数学分析的最重要的方法，即极限概念是研究数列和函数的重要工具，这是数学分析区别于初等数学的重要标志。我们通过极限理论来定义数学分析中的连续性，导数，积分等重要概念，极限概念中的数列极限的定义和函数极限的定义的难度比较大，难以理解，我们常用几何方法来解释内容，同时意识到极限对学数学分析中最重要的概念。-15-新疆师范大学2014届毕业生毕业论文（设计）1.数列极限1.1数列极限的定义：设是一个数列，是实数，如果对任意给定的，总存在一个整数，当时，都有,我们就称是数列的极限或者称数列收敛

4、，且收敛于,记为：或（）就读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于数列极限存在，称数列极限。若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。1.2数列极限的定义及注意点：(1)的任意性定义中的整数，作用是数列通项与常数的接近程度，越小越接近，而整数可以任意的小，说明和接近到什么程度，用的任意性来找出整数。(2)的相应性一般说，随着的变小而变大，常来强调是依赖于的，但这并不是说是由唯一确定的，这里重要的是的存在性，而不是它的值的大小，与的大小无关。(3)几何意义数列的极限是的几何意义是对任意的，任意一个以为中心，以为半径的领域或开区间,数列中总存在一项在此项后面的所有项，（即除了前项以外）它们

5、在数轴上所对应的点，都位于的领域或区间之中，之多有个点,在此领域区间之外，因为,可以任意小，所以数列中各项所对应的点都无限集在点的附近。-15-新疆师范大学2014届毕业生毕业论文（设计）1.3数列极限的两点说明(1)的两重性定义中的具有任意性，同时具有确定性，作为任意性，它体现了人们对的任意小的主观要求（即定义中的，作为确定性，它随着人们的要求而被“确定”是个按人们自己的要求而确定的常数，另外还应该注意，通常人们习惯把看作一个极小的任意整数，引入的任意整数是数列极限由定性描述转入定量定义的关键，另一方面具有相对的固定性，在数列极限定义中，正数是任意的，虽然也任意大，但是此时不等式并不

6、说明无限趋近于，这里主要是指任意小，此时不等式才说明无限趋于，因此证明极限问题时，常常限定的较小的变化范围。如,，为了使是正整数，限定从而有＞1.(2)的两重性定义中的具有确定性和任意性。对于确定性，它是应“人们的要求（要求数列的项与常数的距离小于）而确定的一个自然数，也可以记;对于任意性，就是它的存在不唯一，一旦有满足人们的要求，则任意大于或等于它的自然数都将满足人们的要求（这也是人们用“”定义来证明数列极限时常把表达式适当放大的基本原因。）1.4数列收敛的条件(1)迫敛法则迫敛法则不但是一种数列收敛的强有力的方法，而且可以同时给出数列极限值的法则。设给三个数列,及，如果，且,当时有

7、,则数列收敛，且单调有界数列必收敛。(2)柯西（catchy）收敛准则迫敛法则是及单调有界法则是数列收敛的两个充分条件，下面要介绍的则是一个重要的充分必要条件。-15-新疆师范大学2014届毕业生毕业论文（设计）数列收敛的充分必要条件是，，当时恒有(3)夹逼定理设，，三个数列，并且存在一个自然数,使得：，若与都有极限存在，并等于，则的极限存在，并且等于。证明：对于任意给定的，存在自然数与,使得，只要，，只要也即有，只要，，只要，现在我们取,则有