函数与数列极限的定义区别

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1、导读：极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.　　数列极限的ε-N

2、定义是极限理论的重点与核心.　　数列极限1．定义　　设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式

3、an-A

4、<ε都成立，那么就称常数A是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作　　　　读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.　　上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所

5、有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.　　对于正整数N应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.　　2．性质　　收敛数列有如下性质：　　（1）极限唯一性；　　（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；　　（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；　　（4）保号性

6、，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；　　（5）保序性，即若，且AN1时an

7、不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作　　导读：极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应

8、用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.　　数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.　　数列极限1．定义　　设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式

9、an-A

10、<ε都成立，那么就称常数A是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作　　　　读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.　　上述定义的几何意义是：对于任何一

11、个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.　　对于正整数N应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.　　2．性质　　收敛数列有如下性质：　　（1）极限唯一性；　　（2）若数列{an}收敛，则{a

12、n}为有界数列；　　（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；　　（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；　　（5）保序性，即若，且AN1时an