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时间:2018-11-26
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1、导读:极限是研究函数最基本的方法,它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词:极限,数列,函数极限概念是数学分析中最重要的概念,如连续、导数、积分等都要用极限来定义,而且由极限出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想,掌握极限理论,应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N
2、定义是极限理论的重点与核心. 数列极限1.定义 设有数列{an}与常数A,如果对于任意给定的正数ε(不论它有多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式
3、an-A
4、<ε都成立,那么就称常数A是数列{an}的极限,或者称数列{an}收敛于A,记作 读作“当n趋于无穷大时,an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在,称数列{an}为收敛数列,否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是:对于任何一个以A为中心,ε为半径的开区间(A-ε,A+ε),总可以在数列{an}中找到某一项aN,使得其后的所
5、有项都位于这个开区间内,而在该区间之外,最多只有{an}的有限项(N项). 对于正整数N应该注意两点:其一,N是随着ε而存在的,一般来讲,N随着ε的减小而增大,但N不是唯一存在的;其二,定义中只强调了正整数N的存在性,而并非找到最小的N,我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2.性质 收敛数列有如下性质: (1)极限唯一性; (2)若数列{an}收敛,则{an}为有界数列; (3)若数列{an}有极限A,则其任一子列{ank}也有极限A; (4)保号性
6、,即若极限A>0,则存在正整数N1,n>N1时an>0; (5)保序性,即若,且AN1时an7、不等式的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式,则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限,记作 导读:极限是研究函数最基本的方法,它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词:极限,数列,函数极限概念是数学分析中最重要的概念,如连续、导数、积分等都要用极限来定义,而且由极限出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想,掌握极限理论,应8、用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限1.定义 设有数列{an}与常数A,如果对于任意给定的正数ε(不论它有多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式9、an-A10、<ε都成立,那么就称常数A是数列{an}的极限,或者称数列{an}收敛于A,记作 读作“当n趋于无穷大时,an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在,称数列{an}为收敛数列,否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是:对于任何一11、个以A为中心,ε为半径的开区间(A-ε,A+ε),总可以在数列{an}中找到某一项aN,使得其后的所有项都位于这个开区间内,而在该区间之外,最多只有{an}的有限项(N项). 对于正整数N应该注意两点:其一,N是随着ε而存在的,一般来讲,N随着ε的减小而增大,但N不是唯一存在的;其二,定义中只强调了正整数N的存在性,而并非找到最小的N,我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2.性质 收敛数列有如下性质: (1)极限唯一性; (2)若数列{an}收敛,则{a12、n}为有界数列; (3)若数列{an}有极限A,则其任一子列{ank}也有极限A; (4)保号性,即若极限A>0,则存在正整数N1,n>N1时an>0; (5)保序性,即若,且AN1时an
7、不等式的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式,则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限,记作 导读:极限是研究函数最基本的方法,它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词:极限,数列,函数极限概念是数学分析中最重要的概念,如连续、导数、积分等都要用极限来定义,而且由极限出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想,掌握极限理论,应
8、用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限1.定义 设有数列{an}与常数A,如果对于任意给定的正数ε(不论它有多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式
9、an-A
10、<ε都成立,那么就称常数A是数列{an}的极限,或者称数列{an}收敛于A,记作 读作“当n趋于无穷大时,an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在,称数列{an}为收敛数列,否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是:对于任何一
11、个以A为中心,ε为半径的开区间(A-ε,A+ε),总可以在数列{an}中找到某一项aN,使得其后的所有项都位于这个开区间内,而在该区间之外,最多只有{an}的有限项(N项). 对于正整数N应该注意两点:其一,N是随着ε而存在的,一般来讲,N随着ε的减小而增大,但N不是唯一存在的;其二,定义中只强调了正整数N的存在性,而并非找到最小的N,我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2.性质 收敛数列有如下性质: (1)极限唯一性; (2)若数列{an}收敛,则{a
12、n}为有界数列; (3)若数列{an}有极限A,则其任一子列{ank}也有极限A; (4)保号性,即若极限A>0,则存在正整数N1,n>N1时an>0; (5)保序性,即若,且AN1时an
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