函数与数列的极限

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1、专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印第一讲：函数与数列的极限一、单项选择题1．下面函数与为同一函数的是（）解：，且定义域，∴选D2．已知是的反函数，则的反函数是（）解:令反解出：互换，位置得反函数，选A3．设在有定义，则下列函数为奇函数的是（）解：的定义域且∴选C5．数列有界是存在的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛，选A6．当时，与为等价无穷小，则=（）AB1C2D-2解：，选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设，则的定义域为解：∵∴定义域为8

2、．设则23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印解：（1）令（2）9．函数的反函数是解：（1），反解出：（2）互换位置，得反函数10．解：原式11．若则解：左式=故12．=解：当时，～∴原式==三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数的定义域解：∴函数的定义域为14．设求解：故15．设，的反函数，求解:（1）求∴反解出：互换位置得(2)16．判别的奇偶性。23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印解法（1）：的定义域，关于原点对称为奇函数解法（2）：故为奇函数17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及解：已知即

3、有得故得故18．设，求的值。解：故19．求解：（1）拆项，（2）原式=20．设求解：原式=23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印四、综合题（每小题10分，共20分）21．设=，求=并讨论的奇偶性与有界性。解：（1）求（2）讨论的奇偶性为奇函数（3）讨论的有界性有界22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积V=故（2）函数的定义域故五、证明题（每小题9分，共18分）23．设为定义

4、在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1)(2)令23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印为偶函数(3)令为奇函数（4）综上所述：偶函数+奇函数24设满足函数方程2+=，证明为奇函数。证：（1）令函数与自变量的记号无关（2）消去，求出（3）的定义域又为奇函数＊选做题1已知，求解:且∴由夹逼定理知，原式2若对于任意的，函数满足：，证明为奇函数。解(1)求：令23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印(2)令为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共2

5、4分）1．下列极限正确的（）A．B．不存在C．D．解：选C注：2．下列极限正确的是（）A．B．C．D．解：选A注：3．若，，则下列正确的是（）A．B．C．D．解：选D4．若，则（）A．3B．C．2D．解：选B5．设且存在，则=（）A．-1B．0C．1D．223专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印解：　　　　　　选C6．当时，是比高阶无穷小，则（）A．B．C．为任意实数D．解：故选A二、填空题（每小题4分，共24分）7．解：原式8．解：原式9．解：原式10．已知存在，则=解：11．解：又故原式=112．若且,则正整数=解：故

6、三、计算题（每小题8分，共64分）13．求解：原式=23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印原式14．求解：原式15．求解：令，当时，原式16．求解：原式注:原式17．求解：原式18．设且存在，求的值。解：23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印19．解：原式20．求解：原式四、证明题（共18分）21．当时且,证明证：证毕22．当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）（2）（3）（4）证：当时，23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印当时，当时，当时，五、综合题（每小题10分，共20分）23

7、．求解：原式24．已知，求常数的值。解：（1）∵原极限存在且（2）答选做题求23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印解：原式令原式第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．若为是连续函数，且，则()A．-1B．0C．1D．不存在解：原式，选B2．要使在点处连续，应给补充定义的数值是()A．B．C．D．解：选A3．若，则下列正确的是（）A．B．C．D．解：选B4．设且在处可导，,则是的()23专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印A．可去间断点B．跳跃间断点C

8、．无穷间断点D．连续点解：，故是的第一类可去间断点。选A5．在处(　)A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导但不连续解：，且在连续，又不存在，在不可导选C6．设在可导，则为（）A．B．C